Каково количество корней у уравнения |x+3|=a-x^2 в зависимости от значения параметра?

Тема занятия: Количество корней уравнения |x+3|=a-x^2

Разъяснение:

У нас есть уравнение |x+3|=a-x^2, где a - параметр. Наша задача - определить количество корней этого уравнения в зависимости от значения параметра a.

Предположим, что a-x^2 ≥ 0. В этом случае, у нас есть два случая:

1. x+3 ≥ 0: Тогда |x+3| = x+3. Заменим это в исходном уравнении:
x+3 = a-x^2
Теперь решим это уравнение:
x^2 + x + (3-a) = 0
Используем квадратное уравнение, чтобы найти корни:
D = 1 - 4(3-a) = 1 - 12 + 4a = 4a - 11
Корни будут:
x = (-1 ± √(4a-11))/2

2. x+3 < 0: Тогда |x+3| = -(x+3). Заменим это в исходном уравнении:
-(x+3) = a-x^2
x+3 = x^2 - a
x^2 - x - (a+3) = 0
Используем квадратное уравнение, чтобы найти корни:
D = 1 - 4(-a-3) = 1 + 4a + 12 = 4a + 13
Корни будут:
x = (1 ± √(4a+13))/2

Таким образом, количество корней у уравнения |x+3|=a-x^2 будет зависеть от значения параметра a и может быть следующим:

1. Если 4a - 11 > 0, то уравнение будет иметь два корня.
2. Если 4a - 11 = 0, то уравнение будет иметь один корень.
3. Если 4a - 11 < 0 и 4a + 13 > 0, то уравнение будет иметь два корня.
4. Если 4a + 13 = 0, то уравнение будет иметь один корень.
5. Если 4a + 13 < 0, то уравнение не будет иметь корней.

Совет:

Чтобы лучше понять количество корней у этого уравнения, можно построить график функций |x+3| и a-x^2 и найти их точки пересечения. Также полезно переписать уравнение в различных диапазонах значений параметра a, чтобы увидеть, как меняется количество корней.

Задание:

Найдите количество корней уравнения |x+3|=2-x^2 в зависимости от значения параметра a.