Какова высота правильного тетраэдра с ребром длиной 10 см? Известно, что ABCD - это правильный тетраэдр, и AB

Тема урока: Высота правильного тетраэдра

Описание:
Высота правильного тетраэдра - это перпендикулярное расстояние от вершины до основания, проходящее через центр основания. В данной задаче нам нужно найти высоту правильного тетраэдра, у которого ребро имеет длину 10 см.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства правильных тетраэдров и некоторые теоремы о треугольниках.

Шаги решения:
1) В треугольнике ABC проведем медиану AF, которая делит сторону BC пополам. Так как ABC - правильный треугольник, то медиана AF является высотой треугольника.

2) В треугольнике ABF, используя теорему Пифагора, найдем длину медианы AF. Формула теоремы Пифагора: AF^2 = AB^2 - BF^2. Подставим известные значения: AB = 10 см и BF = (1/2)BC = (1/2)AB = 5 см.

3) Поскольку медиана делит сторону BC пополам, то BF равно половине длины AB.

4) Для нахождения высоты тетраэдра нам нужно найти расстояние от вершины A до основания треугольника ABC.

Обозначим центр основания треугольника ABC как точку O. Тогда, расстояние от вершины A до точки O (AO) можно найти, применяя отношение деления отрезка BC в соответствии с теоремой о разделении медианой.

Применим отношение 2:1. То есть, AO = (2/3)AF.

5) Наконец, найдем высоту тетраэдра. Для этого нужно найти расстояние от вершины A до основания треугольника ADO. Поскольку треугольник ADO - это прямоугольный треугольник, его высоту (DO) можно найти, используя теорему Пифагора.

Демонстрация:

Задача: Какова высота правильного тетраэдра с ребром длиной 10 см? Известно, что ABCD - это правильный тетраэдр, и AB = 10 см. Как найти высоту тетраэдра?

Решение:
1) Медиана AF в треугольнике ABC, поэтому BF = 5 см.
2) В треугольнике ABF, используя теорему Пифагора, найдем AF: AF^2 = AB^2 - BF^2, AF^2 = 10^2 - 5^2, AF^2 = 100 - 25, AF = √75.
3) Отрезок AO делится в отношении 2:1, следовательно, AO = (2/3)AF = (2/3)√75.
4) В треугольнике ADO, используя теорему Пифагора, найдите DO: DO^2 = AO^2 - AD^2, DO^2 = [(2/3)√75]^2 - 5^2, DO^2 = (4/9)75 - 25, DO^2 = 300/9 - 225/9, DO^2 = 75/9, DO = √(75/9).

Ответ: Высота правильного тетраэдра равна √(75/9) см.

Совет:
Чтобы лучше понять решение этой задачи, полезно иметь представление о свойствах правильных треугольников и треугольников в целом. Также обратите внимание на применение теоремы Пифагора для нахождения длины стороны или расстояния в прямоугольных треугольниках.

Дополнительное упражнение:
Найдите высоту правильного тетраэдра, если его ребро имеет длину 8 см.