Какова сумма наибольшего и наименьшего значения функции y=(x-2)^2e^-x на интервале [0; 5]? Варианты ответов: 1) 2

Тема: Решение задачи на нахождение суммы наибольшего и наименьшего значения функции на заданном интервале

Разъяснение: Чтобы найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции y=(x-2)^2e^-x на интервале [0; 5], нужно вначале найти значения функции на границах интервала и, затем, найти экстремумы функции внутри интервала.

Для начала, найдем значения функции на границах интервала. Подставим x=0 и x=5 в уравнение функции и вычислим y.

При x=0:
y=(0-2)^2e^0 = 4*1 = 4

При x=5:
y=(5-2)^2e^-5 = 9 * 0.0067 ≈ 0.06

Теперь найдем экстремумы функции внутри интервала. Для этого, найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти крайние точки.

y=(x-2)^2e^-x
y' = (2x-4)e^-x - (x-2)^2e^-x

Приравняем производную y' к нулю и найдем значения x:

(2x-4)e^-x - (x-2)^2e^-x = 0

Упростим выражение:

e^-x(2x-4 - (x-2)^2 )= 0

(2x-4 - (x^2 - 4x + 4) = 0

- x^2 + 6x - 4 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * (-1) * (-4) = 36 - 16 = 20

x1 = (-b + √D) / (2a) = ( -6 + √20 ) / -2 ≈ -0.43
x2 = (-b - √D) / (2a) = ( -6 - √20 ) / -2 ≈ 6.43

Теперь, найдем соответствующие значения y для x1 и x2:

При x1:
y ≈ 0.22

При x2:
y ≈ -2.93

Итак, найденные значения функции на границах интервала: y1 = 4, y2 ≈ 0.06; а экстремумы функции внутри интервала: y3 ≈ 0.22, y4 ≈ -2.93.

Найдем сумму наибольшего и наименьшего значения функции:

y(max) = max(y1, y2, y3, y4) ≈ 4

y(min) = min(y1, y2, y3, y4) ≈ -2.93

Сумма наибольшего и наименьшего значения функции: y(max) + y(min) = 4 + (-2.93) = 1.07.

Совет: При решении задач на нахождение экстремумов функции, всегда следует проверять значения на границах интервала.

Упражнение: Найдите значения функции y=(x^2-3x)e^x на интервале [1; 4] и вычислите сумму наибольшего и наименьшего значения функции на этом интервале.