Какова область определения функции y = 3log4(9-x^2) + √(3sinx)?

Тема занятия: Область определения функции

Инструкция:
Чтобы найти область определения функции, мы должны определить, для каких значений переменных функция определена и имеет смысл. В этой задаче имеются два компонента функции: логарифм и корень квадратный. Давайте рассмотрим каждый компонент отдельно.

1. Логарифмическая функция: функция y = log_b(x), где b - основание логарифма, определена только для положительных значений x. В нашем случае основание логарифма равно 4, поэтому выражение 9 - x^2 должно быть положительным. Решим это неравенство:

9 - x^2 > 0

(3 + x)(3 - x) > 0

Из этого неравенства мы получаем два интервала, где выражение 9 - x^2 положительно: (-∞, -3) и (3, +∞).

2. Корень квадратный: функция y = √x определена только для неотрицательных значений x. В нашем случае внутри корня находится 3sinx. Так как синус может принимать значения от -1 до 1, выражение 3sinx будет находиться в диапазоне от -3 до 3. Поэтому получаем:

3sinx ≥ 0

-1 ≤ sinx ≤ 1

Для этого неравенства нам нужно рассмотреть значения sinx от -1 до 1. Это означает, что область определения функции y = √(3sinx) - это весь диапазон значений sinx от -1 до 1.

Теперь мы должны объединить области определения для обоих компонентов функции. Получаем, что область определения функции y = 3log4(9-x^2) + √(3sinx) - это пересечение интервала (-∞, -3) и (3, +∞) с диапазоном значений sinx от -1 до 1:

(-∞, -3) ∪ (3, +∞) ∩ [-1, 1]

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить, как определить область определения функции, важно знать области определения различных компонентов функции, таких как логарифмы, корни и тригонометрические функции. Учтите также, что область определения может быть ограничена другими условиями, например, ограничениями на переменные.

Проверочное упражнение: Найдите область определения функции y = log2(4 - x) + √(x - 1) и выразите ее в виде интервалов.