Какова длина отрезка касательной, проведенной в точке А (5;0), и ограниченного осями координат, для графика функции

Тема урока: Касательная и длина отрезка касательной

Пояснение: Чтобы найти длину отрезка касательной, проведенной в точке А и ограниченного осями координат для графика функции, мы должны выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции. Для данной функции y=(30/x)-(6x/5) возьмем ее производную, используя правило дифференцирования искусственных функций: y" = (-30/x^2) - (6/5).

Шаг 2: Найдите значение производной функции в точке А. Если точка А имеет координаты (5,0), подставьте x = 5 в выражение производной функции, чтобы получить значение скорости изменения функции в этой точке.

Шаг 3: Найдите уравнение касательной. Используя найденное значение производной функции и координаты точки А, мы можем использовать формулу для уравнения касательной, чтобы найти уравнение линии касательной.

Шаг 4: Найдите точки пересечения касательной с осями координат. Решите уравнение касательной для x=0 и y=0, чтобы найти точки пересечения касательной с осями координат.

Шаг 5: Вычислите длину отрезка касательной. Используя координаты точек пересечения, найдите длину отрезка, ограниченного осями координат.

Демонстрация:
Шаг 1: Найдем производную функции: y" = (-30/x^2) - (6/5).
Шаг 2: Подставим x = 5 в производную функции: y" = (-30/5^2) - (6/5) = -126/25 = -5.04.
Шаг 3: Используя уравнение касательной, получаем: y - 0 = -5.04(x - 5).
Шаг 4: Решим уравнение касательной для x=0 и y=0: 0 - 0 = -5.04(x - 5) => x = 25/504 = 0.0496 (округлим до 0.05), y = -0.252 (округлим до -0.25).
Шаг 5: Вычислим длину отрезка касательной: √((5 - 0.05)^2 + (0 - (-0.25))^2) = √(24.7501 + 0.0625) = √24.8126 = 4.98 (округлим до 5, два знака после запятой).

Совет: Для понимания концепции касательной линии и ее длины, полезно изучить производную функции и уравнение касательной. Это позволит вам лучше понять процесс нахождения касательной и определения ее длины.

Задача для проверки: Найти уравнение касательной к функции y = (2/x) - (3x/4) в точке А (2,0) и найти длину отрезка касательной, ограниченного осями координат.