Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника АВС, если высота, опущенная на гипотенузу, равна

Суть вопроса: Пременение теоремы Пифагора для нахождения длины катета прямоугольного треугольника
Инструкция: Для решения этой задачи важно использовать два важных свойства прямоугольных треугольников: теорему Пифагора и теорему о подобии треугольников.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника равна квадрату длины его гипотенузы. Таким образом, мы можем записать уравнение:

АН² + НС² = АС², где АН и НС - длины катетов прямоугольного треугольника ABC, а АС - длина гипотенузы.

Также, учитывая отношение отрезков АН к НС, равное 4:9, мы можем записать:

AN / NC = 4/9

Мы можем решить это уравнение относительно AN или NC, но чтобы упростить вычисления, давайте представим это отношение в виде десятичной дроби:

AN / NC = 0.4444 (с округлением до четырех знаков после запятой)

Теперь мы можем использовать теорему о подобии треугольников, чтобы найти длину катетов. Поскольку гипотенуза (АС) разделена в отношении 4:9, соответствующие катеты (АН и НС) также должны быть разделены в том же отношении. Таким образом, мы можем записать:

AN / АС = NC / АС = 4/9

Теперь мы можем использовать данную информацию и высоту, опущенную на гипотенузу (26), чтобы решить задачу:

Так как высота, опущенная на гипотенузу, разделяет гипотенузу на отрезки АН и НС, то АН + НС = АС.

Разделим это уравнение на АС, чтобы получить:

АН / АС + НС / АС = 1

Заменим AN / АС на 4/9 (см. выше):

4/9 + НС / АС = 1

4/9 + НС / АС = 1

Теперь подставим соответствующие значения:

4/9 + НС / 26 = 1

НС / 26 = 1 - 4/9

НС / 26 = 9/9 - 4/9

НС / 26 = 5/9

Теперь найдем НС:

НС = 26 * (5/9) = 14.44

Ответ: Длина меньшего катета АН прямоугольного треугольника АВС составляет приблизительно 14.44.

Совет: Важно понимать теорему Пифагора и уметь использовать ее. Упростите расчеты путем представления отношения отрезков десятичной дробью, чтобы избежать работы с несколькими дробями. Визуализация треугольника с помощью рисунка также может помочь в понимании и решении задачи.

Проверочное упражнение: В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС и катетом АН, известно, что высота, опущенная на гипотенузу (НС), равна 20 единиц, а отношение отрезков АН к НС равно 3:7. Найдите длину меньшего катета АН.