Каков объем тела, полученного при вращении параболы y=3x^2 от x=1 до x=2 вокруг

Содержание: Объем тела, полученного при вращении параболы

Пояснение:
Для решения этой задачи мы будем использовать метод цилиндров. Идея заключается в том, что мы разбиваем область вращения на маленькие цилиндрические слои и суммируем объем каждого слоя, чтобы получить итоговый объем.

Для начала, рассмотрим маленький вертикальный элемент параболы между x и x + Δx. Длина этого элемента будет Δx, а его высота будет 3x^2. Чтобы найти объем цилиндра, полученного вращением этого элемента вокруг оси x, мы умножаем его площадь поперечного сечения (πr^2) на его высоту (3x^2).

Получаем формулу для объема этого элемента: dV = π(3x^2)^2Δx.

Теперь мы должны просуммировать объем каждого элемента от x = 1 до x = 2, интегрируя по x. Таким образом, итоговый объем будет равен интегралу от 1 до 2 от функции π(3x^2)^2 по x.

Решив этот интеграл, мы найдем итоговый объем тела, полученного вращением параболы y = 3x^2 от x = 1 до x = 2 вокруг оси x.

Пример использования:
Задача: Найдите объем тела, полученного при вращении параболы y = 3x^2 от x = 1 до x = 2 вокруг оси x.

Совет:
Для понимания и решения этой задачи важно знать основы интегралов, площадей форм и понятий вращения тел вокруг осей. Рекомендуется пройти курс по математическому анализу и изучить разделы, связанные с определенным интегралом и объемом тела.

Упражнение:
Посчитайте объем тела, полученного при вращении параболы y = 2x^2 от x = 0 до x = 3 вокруг оси x.