Каков объем тела, полученного при повороте параболы y=3x^2 от x=1 до x=2 вокруг

Тема урока: Объем тела, полученного при повороте параболы вокруг оси

Разъяснение:
Чтобы решить данную задачу, мы должны использовать метод цилиндров. Мы сможем найти объем тела, полученного при повороте параболы вокруг оси, с помощью интеграла.

Формула для нахождения объема тела вращения, полученного при повороте кривой функции f(x) от x=a до x=b вокруг оси x, выглядит следующим образом:

V = π∫[a, b] f(x)^2 dx

В данном случае, у нас задана парабола y = 3x^2, которая поворачивается вокруг оси x от x=1 до x=2. Чтобы найти объем, мы должны построить соответствующий интеграл:

V = π∫[1, 2] (3x^2)^2 dx

Подставим выражение (3x^2)^2 и просчитаем интеграл:

V = π∫[1, 2] 9x^4 dx

Затем, найдем границы интегрирования и возьмем интеграл по переменной x:

V = π[9/5 * x^5] [1, 2]

Рассчитаем значения на верхней и нижней границах и вычислим разницу:

V = π[(9/5 * 2^5) - (9/5 * 1^5)]

V = π * (72 - 9/5)

V = π * (72 - 9/5)

V = (63/5)π

Анализ:
Таким образом, объем тела, полученного при повороте параболы y=3x^2 от x=1 до x=2 вокруг оси x, равен (63/5)π.

Проверочное упражнение:
Найдите объем тела, образованного вращением параболы y=x^2 от x=0 до x=3 вокруг оси x.