Каков наибольший корень уравнения (3x⁴)⁴⋅(4x⁷)³=−72²?

Содержание вопроса: Решение уравнения с рациональными степенями

Разъяснение: Рассмотрим данное уравнение и найдем его наибольший корень. Исходное уравнение выглядит следующим образом: (3x⁴)⁴⋅(4x⁷)³=−72². Для начала, можно упростить его, используя свойства степеней: (81x¹⁶)⋅(64x²¹)=5184. Затем объединим все мономы в один, перемножив числовые и буквенные коэффициенты: 81⋅64⋅x¹⁶⋅x²¹=5184. Произведением чисел будет 5184, а произведение буквенных коэффициентов x^(16+21)=x³⁷. Таким образом, получаем уравнение: 81⋅64⋅x³⁷=5184.

Чтобы найти значение x, разделим обе стороны уравнения на число 5184: (81⋅64⋅x³⁷)/5184=5184/5184. Сокращаем дробь и упрощаем выражение: x³⁷/64=1. Поскольку x возводится в 37-ую степень, чтобы избавиться от степени, извлечем корень 64-й степени из обеих сторон уравнения: √⁶⁴(x³⁷/64)=√⁶⁴(1). Получаем: x³/√⁶⁴=1.

Далее, извлекаем корень 64-й степени из числителя: x³=√⁶⁴. Так как корень 64-й степени извлекается извлечением 2-го квадратного корня, получаем: x³=±√32. Применяем возведение в куб обоих частей уравнения: (x³)³=(±√32)³. Раскрываем скобки: x⁹=±(√32)³. Упрощаем значение в скобках: x⁹=±(32√2). И окончательно, извлекаем девятый корень из обеих сторон уравнения, чтобы найти значение x: ∛(x⁹)=∛(±32√2). Получаем ответ: x=±2√2.

Дополнительный материал: Найдите наибольший корень уравнения (3x⁴)⁴⋅(4x⁷)³=−72².

Совет: Чтобы более легко решать уравнения со смешанными степенями, сначала попробуйте упростить выражение, применив свойства степеней. Затем объедините все мономы и перенесите все слагаемые на одну сторону уравнения, чтобы получить уравнение в стандартной форме. Также, не забудьте проверить полученный ответ, подставив его в исходное уравнение.

Дополнительное упражнение: Решите уравнение 2x² + 3x - 5 = 0.