Каков косинус угла между векторами b=6m+n и c=m-3n, если вектор m ортогонален вектору n, и длина векторов m и n равна

Тема: Косинус угла между векторами

Объяснение: Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, мы можем использовать формулу, которая связывает скалярное произведение векторов и их длины. Если у нас есть векторы a и b, косинус угла между ними вычисляется следующим образом:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|),

где θ - угол между векторами, а (a · b) - скалярное произведение векторов a и b.

В данной задаче у нас есть векторы b = 6m + n и c = m - 3n. Дано, что вектор m ортогонален вектору n, а также длина векторов m и n равна 1.

Чтобы найти косинус угла между векторами b и c, нам сначала нужно вычислить скалярное произведение этих векторов и их длины.

b · c = (6m + n) · (m - 3n),

Для удобства расчетов можно применить дистрибутивность и коммутативность скалярного произведения:

b · c = 6m · m + 6m · (-3n) + n · m + n · (-3n).

Поскольку вектор m ортогонален вектору n, скалярное произведение m · n равно 0. Также известно, что длина векторов m и n равна 1, поэтому m · m = 1 и n · n = 1.

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение:

b · c = 6 * 1 + 6 * (-3) * 0 + 1 * 0 + 1 * (-3) * 1 = 6 - 3 = 3.

Затем нам нужно вычислить длины векторов b и c:

|b| = √(6^2 + 1^2) = √(36 + 1) = √37,

|c| = √(1^2 + (-3)^2 * 1^2) = √(1 + 9) = √10.

Теперь мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла:

cos(θ) = (b · c) / (|b| * |c|).

Подставляя значения, получаем:

cos(θ) = 3 / (√37 * √10).

Пример использования: Найдите косинус угла между векторами b = 6m + n и c = m - 3n, если вектор m ортогонален вектору n, и длина векторов m и n равна 1.

Совет: Перед тем, как решать задачу, удостоверьтесь, что вы понимаете понятие косинуса угла между векторами и умеете вычислять скалярное произведение и длины векторов.

Упражнение: Найдите косинус угла между векторами d = 2m + 3n и e = m + 2n, если вектор m ортогонален вектору n, и длина векторов m и n равна 2.