Каков косинус угла между векторами a=4m-p и b=m+2p, если вектор m перпендикулярен вектору p и длина векторов m

Тема: Косинус угла между векторами

Пояснение: Для решения данной задачи нам необходимо определить косинус угла между векторами a и b. Для начала, поскольку мы знаем, что вектор m перпендикулярен вектору p, это означает, что скалярное произведение между этими векторами равно нулю. То есть, m · p = 0.

Затем мы можем использовать формулу для нахождения косинуса угла между векторами, основываясь на их скалярном произведении:

cos θ = (a · b) / (|a| · |b|),

где a · b обозначает скалярное произведение векторов a и b, |a| и |b| обозначают длины векторов a и b соответственно, а θ обозначает угол между ними.

Теперь можем найти эти значения. Поскольку вектор m перпендикулярен вектору p и их длины равны 1, мы получаем:

|p| = |m| = 1.

Теперь найдём скалярное произведение векторов a и b:

a · b = (4m - p) · (m + 2p).

Произведя раскрытие скобок и учтя, что скалярное произведение между вектором и самим собой равно квадрату его длины, мы получаем:

a · b = 4(m · m) - (m · p) + 2(p · m) - (p · p).

Распишем это дальше:

a · b = 4|m|^2 - 0 + 2(0) - |p|^2.

Заметим, что |m|^2 = 1^2 = 1 и |p|^2 = 1^2 = 1, поэтому:

a · b = 4 - 1 - 1 = 2.

Теперь мы можем подставить значения в формулу для косинуса угла:

cos θ = (2) / (1 · 2) = 2/2 = 1.

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен 1.

Совет: Чтобы лучше понять данную тему, рекомендуется ознакомиться с основными понятиями векторов и скалярного произведения, а также практиковаться в решении подобных задач.

Задание: Найдите скалярное произведение векторов a = 3i + 2j и b = -i + 4j. Затем найдите косинус угла между этими векторами.