Какое значение имеет выражение 6x+1/x^2, если известно, что 36x^2+1/x^2=13?

Содержание: Решение уравнений с использованием известных значений

Объяснение: Для нахождения значения выражения 6x+1/x^2, если известно, что 36x^2+1/x^2=13, сначала необходимо решить данное уравнение, а затем подставить полученное значение переменной x в данное выражение.

1. Решим уравнение 36x^2+1/x^2=13:
Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от знаменателя:
36x^4 + 1 = 13x^2
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
36x^4 - 13x^2 + 1 = 0
Получили уравнение четвертой степени.

2. Воспользуемся формулой Декарта для нахождения корней.
Запишем уравнение вида ax^4 + bx^2 + c = 0:
a = 36, b = -13, c = 1
Найдем дискриминант D:
D = b^2 - 4ac
D = (-13)^2 - 4 * 36 * 1
D = 169 - 144
D = 25
Уравнение имеет два комплексных корня и два вещественных корня.

3. Решим уравнение.
Комплексные корни уравнения:
x1 = (13 - √D)/(2 * 36)
x2 = (13 + √D)/(2 * 36)
x1 = (13 - √25)/(72)
x2 = (13 + √25)/(72)
x1 = (13 - 5)/(72)
x2 = (13 + 5)/(72)
x1 = 8/72 = 1/9
x2 = 18/72 = 1/4

Вещественные корни уравнения:
x3 = (√D - 13)/(2 * 36)
x4 = (-√D - 13)/(2 * 36)
x3 = (5 - 13)/(72)
x4 = (-5 - 13)/(72)
x3 = -8/72 = -1/9
x4 = -18/72 = -1/4

4. Теперь, подставим значения x в выражение 6x+1/x^2:
Подставим x = 1/9:
6 * (1/9) + 1/(1/9)^2
6/9 + 9^2 = 6/9 + 81
6/9 + 81/1 = 6/9 + 729/9 = 735/9 = 245/3

Подставим x = -1/9:
6 * (-1/9) + 1/(-1/9)^2
-6/9 + (-9)^2 = -6/9 + 81
-6/9 + 81/1 = -6/9 + 729/9 = 723/9 = 241/3

Подставим x = 1/4:
6 * (1/4) + 1/(1/4)^2
6/4 + 4^2 = 6/4 + 16
6/4 + 16/1 = 6/4 + 64/4 = 70/4 = 35/2

Подставим x = -1/4:
6 * (-1/4) + 1/(-1/4)^2
-6/4 + (-4)^2 = -6/4 + 16
-6/4 + 16/1 = -6/4 + 64/4 = 58/4 = 29/2

Таким образом, значение выражения 6x+1/x^2 при данных значениях x равно:
x = 1/9, 245/3
x = -1/9, 241/3
x = 1/4, 35/2
x = -1/4, 29/2

Совет: Для решения данной задачи необходимо хорошо знать основные методы решения уравнений, в том числе уравнений вида ax^4 + bx^2 + c = 0. Помимо этого, для упрощения вычислений, рекомендуется использовать калькулятор или программу для работы с дробями, чтобы получить точные значения.

Ещё задача: Найдите значения выражения 6x+1/x^2, если известно, что 16x^2+1/x^2=5.