Какое значение имеет первый член геометрической прогрессии, если сумма первых четырех членов равна -48, четвертый член

Геометрическая прогрессия:
Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на определенное число, называемое знаменателем прогрессии.

Решение:
Дано, что сумма первых четырех членов равна -48, и четвертый член равен -32,4. Нам также дано, что знаменатель равен 3.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель равен q.

Тогда сумма первых четырех членов геометрической прогрессии будет равна:

а + аq + аq^2 + аq^3 = -48 (1)

и четвертый член будет равен:

аq^3 = -32,4 (2)

Разделим уравнение (1) на q:

а/q + аq + аq^2 + аq^3/q = -48/q

Так как q ≠ 0, то мы можем сократить на q:

а/q + аq + аq^2 + аq^3/q = -48

Заменим аq^3/q на -32,4 из уравнения (2):

а/q + аq + аq^2 - 32,4 = -48

Теперь у нас есть уравнение относительно двух переменных а и q.

Алгебраическое решение этого уравнения может быть достаточно сложным. Так как дано условие, что четвертый член равен -32,4, мы можем воспользоваться этой информацией.

Используя уравнение (2), мы можем подставить аq^3 = -32,4 в (1):

а + аq + аq^2 - 32,4 = -48

это даёт:

а(1 + q + q^2) = -15,6

Теперь мы можем сокращать:

1 + q + q^2 = -15,6/а

Значение 1 + q + q^2 должно быть константой, так как а является произволной величиной. Но также дано условие, что знаменатель равен 3. Подставим q = 3 в уравнение:

1 + 3 + 9 = -15,6/а

Выразим а:

13 = -15,6/а

а = -15,6/13

а = -1,2

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен -1,2.

Практика:
Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если первый член равен 5, а знаменатель равен 2.