Какое значение должна иметь разность прогрессии, чтобы произведение третьего и пятого членов было наименьшим, если

Тема вопроса: Арифметическая прогрессия

Инструкция: Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между каждым двумя последовательными членами является постоянной. Для решения данной задачи, нам необходимо найти значение разности прогрессии (d), чтобы произведение третьего и пятого членов было минимальным, если сумма утроенного второго и четвёртого членов равна 10.

1. Пусть первый член арифметической прогрессии будет a1, второй член - a2, третий член - a3, пятый член - a5.
2. Используем формулу для арифметической прогрессии, чтобы найти второй и четвёртый члены: a2 = a1 + d, a4 = a1 + 3d (так как сумма утроенного второго и четвёртого членов равна 10).
3. Теперь используем формулу для произведения третьего и пятого членов: a3 * a5.
4. Подставляем значения в формулу для произведения третьего и пятого членов: (a1 + 2d) * (a1 + 4d).
5. Упрощаем выражение и находим произведение третьего и пятого членов: a1^2 + 6a1d + 8d^2.
6. Найти производную этого выражения по переменной d, чтобы найти минимум произведения третьего и пятого членов.
7. Решаем уравнение, приравнивая производную к нулю и находим значение разности прогрессии (d).
8. Подставляем найденное значение разности прогрессии (d) обратно в формулы для второго и четвёртого членов, чтобы найти их значения.
9. Выводим результат.

Пример: Какое значение должно иметь разность прогрессии, чтобы произведение третьего и пятого членов было наименьшим, если сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 10?

Совет: Для лучшего понимания арифметической прогрессии и решения данной задачи, рекомендуется ознакомиться с основными формулами арифметической прогрессии и научиться применять их в различных задачах.

Практика: В арифметической прогрессии имеются следующие значения: первый член a1 = 5, разность d = 3. Найдите значение восьмого члена прогрессии.

Содержание: Арифметическая прогрессия

Пояснение: Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя соседними членами является постоянной, называемой разностью прогрессии (d).

Для решения данной задачи нам необходимо найти значение разности прогрессии (d), чтобы произведение третьего и пятого членов прогрессии было минимальным.

Дано, что сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 10. Мы можем записать это в виде уравнения: 3(a2) + a4 = 10, где a2 и a4 - второй и четвёртый члены прогрессии соответственно.

Чтобы найти значение разности прогрессии (d), мы можем использовать формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии:

an = a1 + (n - 1)d,

где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии, d - разность прогрессии.

Мы знаем, что произведение третьего и пятого членов прогрессии должно быть минимальным. То есть, a3 * a5 должно быть наименьшим. Когда разность прогрессии положительна, произведение будет наименьшим при симметричном расположении чисел. То есть, a3 = a5.

Подставляя значения из формулы для a3 и a5, получаем: a1 + 2d = a1 + 4d. Упрощаем это уравнение, отбрасывая a1 с обеих сторон: 2d = 4d. Решая это уравнение, находим, что d = 0.

Например: Найдите значение разности прогрессии, чтобы произведение третьего и пятого членов было минимальным, если сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 10.

Совет: Для решения задач по арифметическим прогрессиям, важно определить известные значения и использовать известные формулы. Также, обратите внимание на условия задачи и смысл решения, чтобы применить правильные подходы.

Задача на проверку: Найдите разность арифметической прогрессии, если первый член равен 3, шестой член равен 12, а сумма всех членов равна 42.