Какое уравнение плоскости можно составить, если известна точка Р(4, -2, -1) и вектор нормали n(-5, 3, -2)?

Уравнение плоскости - это математическое выражение, которое описывает все точки на данной плоскости. Его можно составить, используя известную точку на плоскости и вектор нормали к этой плоскости.

Дано: точка P(4, -2, -1) и вектор нормали n(-5, 3, -2).

Уравнение плоскости можно записать в следующем виде:
Ax + By + Cz = D,

где A, B и C - коэффициенты, определяющие направление плоскости, а D - свободный член, который определяет расстояние плоскости от начала координат.

Для определения коэффициентов уравнения плоскости, мы можем использовать точку P(4, -2, -1) и вектор нормали n(-5, 3, -2).

1. Начнем с коэффициента A. Мы можем найти его умножив первую компоненту вектора нормали на x-координату точки P. Таким образом, A = -5 * 4 = -20.

2. Затем, найдем коэффициент B, умножив вторую компоненту вектора нормали на y-координату точки P. B = 3 * (-2) = -6.

3. Наконец, определим коэффициент C, умножив третью компоненту вектора нормали на z-координату точки P. C = -2 * (-1) = 2.

Теперь, чтобы найти свободный член D, мы можем подставить значения A, B и C, а также координаты точки P в исходное уравнение плоскости.

-20 * 4 + (-6) * (-2) + 2 * (-1) = -80 + 12 - 2 = -70.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку P(4, -2, -1) с вектором нормали n(-5, 3, -2), может быть записано как -20x - 6y + 2z = -70.

Демонстрация:
Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку P(4, -2, -1) с вектором нормали n(-5, 3, -2).

Совет:
Когда составляете уравнение плоскости, используйте формулу и информацию о точке на плоскости и векторе нормали. Подставляйте значения и выполняйте вычисления поэтапно, чтобы избежать ошибок.

Дополнительное задание:
Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку A(2, 3, 1) и имеющей вектор нормали n(1, -2, 4).