Какое уравнение нужно составить для касательной к графику функции y=7/4x^4/7+x^-3 в определенной точке?

Тема вопроса: Уравнение касательной

Инструкция: Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в определенной точке, нам необходимо использовать производную функции. Производная функции показывает наклон кривой в каждой точке графика.

Для начала найдем производную функции y=7/4x^4/7+x^-3. Чтобы найти производную сложной функции, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции, которое гласит: если у нас есть функция f(g(x)), то ее производная равна производной внешней функции f, умноженной на производную внутренней функции g.

Производная функции y=7/4x^4/7+x^-3 будет равна:

y" = (4/7 * 7/4 * x^(4/7-1)) - (-3 * x^(-3-1))

Simplify: y" = x^(-3/7) + 3x^-4

Теперь мы можем использовать найденную производную, чтобы найти наклон кривой и уравнение касательной в определенной точке. Подставим координаты этой точки в уравнение касательной и найдем значение наклона производной в этой точке. Полученное значение мы подставим в уравнение, заменив x и y на значения координат, и это станет уравнением касательной.

Дополнительный материал: Пусть нам нужно найти уравнение касательной к графику функции y=7/4x^4/7+x^-3 в точке (2, 5).

1. Найдем производную функции: y" = x^(-3/7) + 3x^-4

2. Подставим координаты (2, 5) в производную: f"(2) = 2^(-3/7) + 3 * 2^-4

3. Посчитаем значение производной: f"(2) ≈ -0.802

4. Теперь мы можем записать уравнение касательной в точке (2, 5) с использованием найденного значения наклона и координат точки: y - 5 = -0.802(x - 2)

Совет: Важно понимать, что уравнение касательной представляет собой линейную функцию, которая имеет такой же наклон, как и кривая графика функции в определенной точке. Чтобы лучше понять процесс нахождения уравнения касательной, вы должны знать, как брать производные простых и сложных функций и как использовать их для решения задач.

Задание: Найдите уравнение касательной к графику функции y=3x^2+2 в точке (1, 5).