Какое решение имеет неравенство (6*5^x-11)/(25^(x+0.5)-6*5^x+1)≥0.25?

Тема: Решение неравенства с показателями

Инструкция: Для решения данного неравенства, мы должны использовать различные методы, связанные с показателями и алгебраическими выражениями.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю: умножим оба числителя и знаменателя на \(25^{x+0.5}\), чтобы избавиться от отрицательного показателя степени.

\(\frac{(6 \cdot 5^x-11) \cdot 25^{x+0.5}}{(25^{x+0.5}-6 \cdot 5^x+1) \cdot 25^{x+0.5}} \geq 0.25 \cdot 25^{x+0.5}\)

Шаг 2: Упрощение выражения: раскроем скобки и упростим числитель и знаменатель.

\(6 \cdot 5^x \cdot 25^{x+0.5} - 11 \cdot 25^{x+0.5} \geq (0.25 \cdot 25^{x+0.5} - 6 \cdot 5^x+1) \cdot 25^{x+0.5}\)

Шаг 3: Упрощение дальше: используем правила умножения и сложения показателей степени.

\(6 \cdot 5^x \cdot 5^{0.5} \cdot 5^x - 11 \cdot 5^{x+0.5} \geq 0.25 \cdot 5^{x+0.5} - 6 \cdot 5^x + 25^{x+0.5}\)

\(6 \cdot 5^{2x} \cdot 5^{0.5} - 11 \cdot 5^{x+0.5} \geq 0.25 \cdot 5^{x+0.5} - 6 \cdot 5^x + 25^{x+0.5}\)

Шаг 4: Создание квадратного уравнения: Заменим \(5^x\) на \(t\), чтобы упростить выражение.

\(6 \cdot t^2 \cdot 5^{0.5} - 11 \cdot t^{1.5} \geq 0.25 \cdot t^{1.5} - 6 \cdot t + t^{2.5}\)

Шаг 5: Перенос всех терминов влево и упорядочение выражения

\(t^{2.5} - 6 \cdot t^2 - 0.25 \cdot t^{1.5} + 11 \cdot t^{1.5} - 6 \cdot t + 6 \cdot t^2 - 0.25 \cdot 25^{x+0.5} \geq 0\)

\(t^{2.5} + 4.75 \cdot t^{1.5} - 6 \cdot t + 2.75 \cdot t^{1.5} - 0.25 \cdot 25^{x+0.5} \geq 0\)

Шаг 6: Решение квадратного уравнения: Мы получили квадратное уравнение относительно \(t\). Его решение позволит нам определить значения t, при которых исходное неравенство выполняется.

Пример использования: Решите неравенство \((6\cdot 5^x-11)/(25^{x+0.5}-6\cdot 5^x+1) \geq 0.25\)

Совет: При решении неравенств с показателями, вы можете использовать замену переменной для упрощения выражений и получения готовых к решению квадратных уравнений.

Упражнение: Решите неравенство \((8\cdot 3^x-5)/(9^{x+0.5}-8\cdot 3^x+1) \geq 0.5\) и найдите интервалы значений переменной \(x\), при которых это неравенство выполняется.