Какое натуральное значение параметра b делает уравнение x3+12x2−27x−b=0 имеющим ровно два корня?

Содержание вопроса: Решение уравнения

Инструкция: Чтобы уравнение имело ровно два корня, мы должны использовать теорему Безу, которая гласит, что если уравнение имеет корень r, то оно делится на (x-r). Таким образом, если у нас есть два корня, то уравнение должно делиться на два линейных множителя (x-r1) и (x-r2), где r1 и r2 - это корни уравнения.

Исходя из задачи, у нас есть уравнение x^3 + 12x^2 - 27x - b = 0. Если мы предположим, что b - это некое натуральное число, то есть b > 0, то мы можем рассмотреть возможные значения b для того, чтобы уравнение имело два корня.

Мы можем использовать коэффициенты уравнения, чтобы применить формулу Виета, которая связывает коэффициенты суммы и произведения корней уравнения. Формула Виета для кубического уравнения x^3 + px^2 + qx + r = 0 выглядит следующим образом:

Сумма корней: -p
Произведение корней: r

В нашем случае сумма коэффициентов p = 12, q = -27 и r = -b. Для того, чтобы у уравнения было два корня, сумма коэффициентов (12) должна быть равна нулю. Таким образом, для решения задачи, значение b должно быть равно -27.

Дополнительный материал: Дано уравнение x^3 + 12x^2 - 27x - b = 0. Найдите натуральное значение параметра b, при котором уравнение имеет ровно два корня.

Совет: Для лучшего понимания этой задачи, важно знать теорему Безу и формулу Виета. Также полезно знать, как факторизовать и находить корни кубического уравнения.

Закрепляющее упражнение: Решите уравнение 2x^3 - 7x^2 + 3x + 6 = 0, используя теорему Безу и формулу Виета. Найдите сумму и произведение корней уравнения.