Какое наименьшее значение принимает функция y=e^2x-14e^x-2 на интервале [0,2]?

Суть вопроса: Минимальное значение функции на заданном интервале

Описание:

Для того, чтобы найти минимальное значение функции на заданном интервале, мы должны найти критические точки функции и проверить значения функции в этих точках, а также на границах интервала.

1. Найдем производную функции:
y" = d/dx (e^(2x) - 14e^x - 2) = 2e^(2x) - 14e^x

2. Решим уравнение y" = 0 для нахождения критических точек:
2e^(2x) - 14e^x = 0
Вынесем общий множитель: 2e^x(e^x - 7) = 0
Это уравнение имеет два корня: e^x = 0 и e^x = 7

3. Теперь проверим значения функции в найденных критических точках и на границах интервала [0,2]:
- Подставляем x = 0: y(0) = e^(2*0) - 14e^0 - 2 = 1 - 14 - 2 = -15
- Подставляем x = 2: y(2) = e^(2*2) - 14e^2 - 2 = e^4 - 14e^2 - 2

4. Сравниваем полученные значения, чтобы найти минимальное значение функции:
- Значение на границе интервала: y(0) = -15
- Значение в критической точке: y(2) = e^4 - 14e^2 - 2

Таким образом, чтобы найти минимальное значение функции на интервале [0,2], необходимо сравнить полученные значения и выбрать наименьшее.

Дополнительный материал:
Минимальное значение функции y=e^2x-14e^x-2 на интервале [0,2] равно -15.

Совет:
Чтобы лучше понять эту тему, важно разобраться в основах дифференциального исчисления и уметь находить производные функций. Регулярная практика решения задач поможет вам освоить этот навык.

Дополнительное упражнение:
Найдите минимальное значение функции y = x^3 - 4x^2 + 5 на интервале [0,3].