Какое наименьшее значение принимает функция y=4x2+256x на интервале [16;98]?

Содержание: Оптимальное значение функции

Пояснение: Для определения наименьшего значения функции y = 4x^2 + 256x на заданном интервале [16; 98], нам необходимо найти экстремумы этой функции. Экстремумы могут быть минимумами или максимумами.

Сначала найдем точку, где производная функции равна нулю. Для этого возьмем производную от функции и приравняем ее к нулю:

y" = 8x + 256 = 0

Решив это уравнение, найдем значение x, при котором производная равна нулю:

8x = -256
x = -256/8 = -32

Теперь убедимся, что наша функция имеет минимум или максимум в найденной точке, используя вторую производную от функции. Если вторая производная положительна, то у нас есть минимум, а если она отрицательна, то у нас есть максимум.

y"" = 8

Видим, что вторая производная положительна, что говорит о наличии минимума.

Теперь найдем значение y при x = -32:

y = 4*(-32)^2 + 256*(-32) = 4096 - 8192 = -4096

Таким образом, наименьшее значение функции равно -4096. Оно достигается при x = -32 на указанном интервале [16; 98].

Совет: Чтобы более полно понять эту задачу, полезно знать, что экстремумы функции находятся либо в точках, где ее производная равна нулю, либо на концах заданного интервала.

Задача на проверку: Найдите наибольшее значение функции f(x) = 3x^2 - 120x на интервале [-5; 10].