Какое наименьшее значение параметра а гарантирует, что неравенство (3−а)x^2 −4x−а≥0 верно для всех значений х? Какое

Тема: Решение квадратных неравенств

Инструкция:
Чтобы неравенства выполнялись для всех значений х, необходимо, чтобы коэффициент при квадрате x был положительным в первом случае и отрицательным во втором случае. Рассмотрим каждую задачу отдельно.

1. Для неравенства (3−а)x^2 −4x−а≥0:
В данном случае, если коэффициент при x^2 положительный, то квадратный трехчлен будет выпуклым вверх, а значит, его график будет находиться выше оси абсцисс. Для того чтобы гарантировать, что неравенство выполняется для всех значений x, нам нужно, чтобы такого x не было, что на графике функции значение будет отрицательным. Следовательно, нам нужно найти такое наименьшее значение a, при котором уравнение f(x) = (3−а)x^2 −4x−а=0 имеет дискриминант D, равный нулю либо отрицательный. Дискриминант равен (-4)^2 - 4(3-a)(-a). Приравниваем его к нулю или меньше нуля и решаем уравнение: (-4)^2 - 4(3-a)(-a) ≤ 0.

2. Для неравенства (а+5)x^2+12x+а≤0:
В данном случае, если коэффициент при x^2 отрицательный, то квадратный трехчлен будет выпуклым вниз, а значит, его график будет находиться ниже оси абсцисс. Аналогично первой задаче, мы должны найти такое наименьшее значение a, при котором уравнение f(x) = (а+5)x^2+12x+а=0 имеет дискриминант D, равный нулю или больше нуля. Решаем уравнение: (12)^2 - 4(а+5)(а) ≥ 0.

Демонстрация:
1. Значение параметра а гарантирует выполнение неравенства (3−а)x^2 −4x−а≥0 для всех значений х?
Требуется найти такое наименьшее значение a, при котором выполняется неравенство. Решаем уравнение: (-4)^2 - 4(3-a)(-a) ≤ 0.

2. Какое наименьшее значение параметра а гарантирует, что неравенство (а+5)x^2+12x+а≤0 верно для всех значений x?
Находим такое наименьшее значение a, при котором выполняется неравенство. Решаем уравнение: (12)^2 - 4(а+5)(а) ≥ 0.

Совет:
Для понимания решения квадратных неравенств важно знать общий подход к анализу квадратных трехчленов и использованию дискриминанта для определения их положения относительно оси абсцисс.

Задание для закрепления:
Найдите наименьшее значение параметра а, при котором неравенство (2−а)x^2+5x+2−а<0 верно для всех значений х.