Какое наименьшее значение имеет функция =10х-10ln(x+3)+24 на интервале [-2.5

Тема: Минимум функции с помощью производной

Объяснение: Чтобы найти наименьшее значение функции на заданном интервале, мы должны найти критические точки и значения функции на границах этого интервала.

1. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого возьмем первую производную и приравняем ее к нулю:

f'(x) = 10 - 10/(x+3) = 0

Решим эту уравнение и найдем критические точки.

10 - 10/(x+3) = 0
10(x + 3) = 10
x + 3 = 1
x = -2

Точка x = -2 является критической точкой функции.

2. Теперь рассмотрим значения функции на границах заданного интервала [-2.5, 0]:

f(-2.5) = 10*(-2.5) - 10ln(-2.5+3) + 24 = -25 - 10ln(0.5) + 24
f(0) = 10*(0) - 10ln(0+3) + 24 = 24

Теперь мы сравним значения функции на критической точке и на границах интервала, чтобы найти минимальное значение.

3. Сравнение значений функции:

f(-2) = 10*(-2) - 10ln(-2+3) + 24 = -20 - 10ln(1) + 24 = 4

Минимальное значение функции равно 4 и достигается в точке x = -2 на интервале [-2.5, 0].

Пример использования: Найдите наименьшее значение функции f(x) = 10x -10ln(x+3) + 24 на интервале [-2.5, 0].

Совет: Для нахождения минимального значения функции на заданном интервале, необходимо найти критические точки, а также проверить значения функции на границах этого интервала.

Упражнение: Найдите наименьшее значение функции f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 на интервале [-1, 3].