Какое наибольшее значение принимает функция y=x/64+x2 на положительной полуоси? Укажите точки, в которых функция имеет

Тема: Анализ функции

Описание: Чтобы найти наибольшее значение функции, мы должны сначала найти точки, где производная функции равна нулю, а затем проверить эти точки на наличие максимумов или минимумов. Для начала найдем производную функции y=x/64+x^2. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности с использованием правил дифференцирования.

Производная первого слагаемого равна 1/64, так как производная постоянной величины равна нулю. Производная второго слагаемого равна 2x, так как производная x^2 равна 2x по степенному правилу.

Теперь найдем точки, где производная равна нулю, решив уравнение 1/64 + 2x = 0.

1/64 + 2x = 0
2x = -1/64
x = -1/128

Таким образом, у нас есть одна точка, где производная функции равна нулю, а именно x = -1/128. Чтобы узнать, является ли это точка максимумом или минимумом, мы можем проанализировать знак производной в окрестности этой точки.

Поскольку производная первого слагаемого положительна (1/64 > 0) и производная второго слагаемого положительна для всех значений x, кроме x = 0, мы можем сделать вывод, что функция y=x/64+x^2 имеет минимум в точке x = -1/128.

Чтобы найти наибольшее значение функции на положительной полуоси, мы должны подставить это значение x в функцию и рассчитать y.

y = (-1/128)/64 + (-1/128)^2
y = -1/8192 + 1/16384
y = -1/8192 + 1/8192
y = 0

Таким образом, функция y=x/64+x^2 не имеет наибольшего значения на положительной полуоси, так как ее максимальное значение равно нулю.

Совет: Чтобы лучше понять процесс нахождения максимума или минимума функции, рекомендуется изучить основы анализа функции, включая нахождение производной, нахождение точек, где производная равна нулю, и анализ знаков производной в окрестностях этих точек.

Задача для проверки: Найдите точки, в которых функция y = x^3 - 6x^2 + 9x имеет нулевую производную.