Какое наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-27x на интервале

Наименьшее и наибольшее значение функции на интервале

Объяснение: Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном интервале, нужно проанализировать её поведение на этом интервале. В данном случае, у нас есть функция f(x) = x^3 - 27x.

Для начала, найдем критические точки функции, то есть значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для этого возьмем производную от функции f(x):

f"(x) = 3x^2 - 27

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x^2 - 27 = 0

Делая элементарные преобразования, получим:

x^2 - 9 = 0

(x - 3)(x + 3) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = -3 и x = 3.

Теперь, чтобы определить, является ли эта точка максимумом или минимумом, проанализируем знак второй производной (f""(x)). Вычислим вторую производную:

f""(x) = 6x

Подставим найденные критические точки:

f""(-3) = 6(-3) = -18

f""(3) = 6(3) = 18

Заметим, что вторая производная меняет знак с отрицательного на положительный при переходе от x = -3 к x = 3. Это говорит нам о том, что точка x = -3 представляет собой максимум, а точка x = 3 - минимум.

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) = x^3 - 27x на интервале будет равно f(-3) и наименьшее значение функции будет равно f(3).

Демонстрация:
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x^3 - 27x на интервале (-5, 5).

Совет: Чтобы лучше понять поведение функции на заданном интервале, можно построить её график или использовать табличные значения. Также полезно запомнить, что наибольшее или наименьшее значение функции на интервале можно найти, если найти критические точки функции и проанализировать изменение знака производной.

Задача для проверки: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 2x^3 - 36x на интервале (-10, 10).

Функция и ее значения на интервале:

Разъяснение: Данная функция f(x) = x^3 - 27x является кубической функцией. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения на интервале, мы должны проанализировать точки экстремума функции.

Для начала, найдем точки, где функция может иметь экстремумы. Это происходит при равенстве производной функции нулю или при неопределенной производной.

Производная функции f(x) равна f"(x) = 3x^2 - 27.
Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

3x^2 - 27 = 0.

Решив это уравнение, мы получим:

x^2 - 9 = 0,
(x - 3)(x + 3) = 0.

Таким образом, мы получаем, что точки экстремума функции находятся при x = -3 и x = 3.

Используя метод интервалов, мы можем сделать следующие выводы:
- При x < -3: f(x) > 0. Функция положительна.
- При -3 < x < 3: f(x) < 0. Функция отрицательна.
- При x > 3: f(x) > 0. Функция положительна.

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на интервале равно положительному значению, которое достигается при x = -3 или x = 3, а наименьшее значение функции равно отрицательному значению, которое достигается при x, лежащем между -3 и 3.

Доп. материал: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x^3 - 27x на интервале [-5, 5].

Совет: Чтобы лучше понять поведение функции, можно построить ее график и проанализировать его. Также полезно знать, что кубическая функция будет иметь экстремумы в тех точках, где ее производная равна нулю.

Дополнительное упражнение: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 16 на интервале [-2, 4].