Какое минимальное значение принимает функция y=1/3x√x-6x+70 на интервале [5; 581]?
Какое минимальное значение принимает функция y=1/3x√x-6x+70 на интервале [5; 581]?
14.11.2023 02:59
Написать свой ответ:
Разъяснение:
Функция y=1/3x√x-6x+70 представляет собой квадратный корень √x, умноженный на 1/3x, с вычитанием 6x и добавлением 70. Для нахождения минимального значения данной функции на интервале [5; 581], необходимо найти точку, в которой оно достигается.
Сначала найдем производную функции, чтобы найти точку экстремума. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности. Производная 1/3x - это 1/3, производная √x - это 1/(2√x), производная -6x - это -6, а производная 70 - это 0. Сложим все производные и приравняем полученное выражение к нулю:
1/3 - 1/(2√x) - 6 = 0
Решим это уравнение относительно x. После упрощения, получим:
1/(2√x) = 1/3 - 6 = -17/3
2√x = -3/17
√x = -3/34
x = (-3/34)^2 = 9/1156
Таким образом, точка экстремума x = 9/1156. Чтобы найти соответствующее значение y, подставим x в исходную функцию:
y = 1/3 * (9/1156) * √(9/1156) - 6 * (9/1156) + 70
После вычислений получим значение y, которое является минимальным на интервале [5; 581].
Например:
Дополнительное задание: Задана функция y = 2x^2 - 3x + 1. Найдите ее минимальное значение на интервале [-2; 2].
Совет: Для нахождения минимального значения функции, необходимо найти точку экстремума. Для этого найдите производную функции и приравняйте ее к нулю.
Дополнительное задание: Найдите минимальное значение функции y = x^3 - x^2 + 5x - 2 на интервале [-3; 3].
Пояснение: Для того чтобы найти минимальное значение функции, нужно сперва найти вершину параболы. Для этого используем формулу вершины параболы: x = -b/2a, где a, b, c - это коэффициенты квадратичного уравнения вида ax^2 + bx + c.
В данном случае у нас есть функция y = (1/3)x√x - 6x + 70, где a = 1/3, b = -6, c = 70. Вычисляем вершину параболы:
x = -(-6) / 2 * (1/3)
x = 6 / (2/3)
x = 6 * (3/2)
x = 9
Теперь, чтобы найти значение функции в точке x = 9, подставляем полученное значение обратно в исходную функцию:
y = (1/3) * 9 * √9 - 6 * 9 + 70
y = (1/3) * 9 * 3 - 54 + 70
y = 9 - 54 + 70
y = 25
Таким образом, минимальное значение функции y = (1/3)x√x - 6x + 70 на интервале [5; 581] равно 25.
Совет: Для более лёгкого понимания и решения данной задачи, рекомендуется вести подробные вычисления на каждом шаге, чтобы не запутаться в формулах и получить точный ответ.
Дополнительное задание: Найдите минимальное значение функции y = 2x^2 - 4x + 3 на интервале [-2; 2].