Какое максимальное значение принимает функция y=x+(4/x)+14 на интервале [-11, -0.5]?

Тема: Максимальное значение функции на интервале

Инструкция: Чтобы найти максимальное значение функции на заданном интервале, нам необходимо найти точку, в которой функция достигает своего наибольшего значения. Для этого мы сначала найдем точку, где производная функции равна нулю, и проверим, является ли эта точка максимумом.

Для нашей функции \(y = x + \left(\frac{4}{x}\right) + 14\) нам необходимо найти производную функции \(y\) по переменной \(x\). Рассчитаем производную:

\(y" = 1 - \left(\frac{4}{x^2}\right)\)

Теперь найдем точку, в которой производная равна нулю:

\(1 - \left(\frac{4}{x^2}\right) = 0\)

\(\frac{4}{x^2} = 1\)

Умножив обе части уравнения на \(x^2\), получим:

\(4 = x^2\)

\(x = \pm 2\)

Теперь мы должны проверить точки \(x = -2\) и \(x = 2\) на максимальное значение функции. Рассчитаем значение функции в этих точках:

Для \(x = -2\):

\(y = (-2) + \left(\frac{4}{-2}\right) + 14 = -2 - 2 + 14 = 10\)

Для \(x = 2\):

\(y = 2 + \left(\frac{4}{2}\right) + 14 = 2 + 2 + 14 = 18\)

Таким образом, функция достигает своего максимального значения 18 на интервале [-11, -0.5] в точке \(x = 2\).

Совет: Чтобы лучше понять эту задачу, рекомендуется проработать тему о поиске экстремумов функций и изучить производные функций. Понимание основных концепций и методов решения задач с максимальными значениями поможет вам с легкостью решать подобные задачи.

Задание для закрепления: Найдите максимальное значение функции \(y = 2x + \left(\frac{3}{x}\right)\) на интервале [1, 5].