Какое будет наименьшее значение для выражения a2+b2+c2−ab−bc−c? Объясните

Квадратные выражения - это алгебраические выражения, содержащие переменные во второй степени. В данной задаче мы имеем выражение a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - c. Чтобы найти его наименьшее значение, мы можем использовать метод завершения квадрата.

Для начала преобразуем выражение, разобьем его на несколько групп:
(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - c).

Теперь можно заметить, что каждая из этих групп является квадратичным трехчленом вида (a - b)^2, (b - c)^2 и (c - 1/2)^2 соответственно.

Теперь выражение примет следующий вид:
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - 1/2)^2 - 5/4.

Для минимального значения каждый из трех квадратных трехчленов должен быть равен нулю, а последний член останется равным -5/4.

(a - b)^2 = 0, откуда a = b.
(b - c)^2 = 0, откуда b = c.
(c - 1/2)^2 = 5/4, откуда c = 1/2 - √5/2 или c = 1/2 + √5/2.

Таким образом, наименьшее значение для данного выражения будет равно -5/4.

Пример:
Дано выражение x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - z. Найдите его наименьшее значение.
Совет:
При решении данного типа задач полезно применять метод завершения квадрата, чтобы преобразовать выражение и найти минимальное значение.
Задание для закрепления:
Дано выражение p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - r. Найдите его наименьшее значение.