Каким способом можно доказать, что при любом натуральном значении n значение выражения 5^n+3 + 11^3n+1 делится

Название: Доказательство методом математической индукции

Разъяснение:

Метод математической индукции - это метод, который используется для доказательства утверждений, истинных для каждого натурального числа. Он состоит из двух шагов: базового шага и индукционного шага.

Шаг 1: Базовый шаг
Доказываем, что утверждение выполняется для наименьшего натурального числа. В данной задаче требуется доказать, что при n = 1 выражение 5^n+3 + 11^3n+1 делится на 17. Подставим n = 1 в данное выражение:

5^1+3 + 11^3(1+1) = 5^4 + 11^4 = 625 + 14 641 = 15 266.

15 266 делится на 17 без остатка (15 266 = 898 × 17), поэтому базовый шаг выполняется.

Шаг 2: Индукционный шаг
Предположим, что утверждение выполняется для некоторого n = k:

5^k+3 + 11^3k+1 делится на 17.

Докажем, что утверждение также выполняется для n = k + 1:

5^(k+1)+3 + 11^3(k+1)+1 = 5 × 5^k+3 + 11^3 × 11^k+1.

Раскроем степени и заменим 5^k+3 на (17 - 11^3k+1) (по предположению индукции):

5 × (17 - 11^3k+1) + 11^3 × 11^k+1.

Раскрываем скобки и получаем:

85 - 55 × 11^3k+1 + 11^3 × 11^k+1.

Вынесем общий множитель и получим:

(85 + 11^3 - 55) × 11^3k+1 + 11^3 × 11^k+1.

85 + 11^3 - 55 дает 17, поэтому итоговое выражение можно записать в виде:

17 × 11^3k+1 + 11^3 × 11^k+1.

17 является делителем исходного выражения, значит, утверждение выполняется для n = k + 1.

Таким образом, по принципу математической индукции доказано, что при любом натуральном значении n выражение 5^n+3 + 11^3n+1 делится на 17.

Совет:
1. Внимательно следите за каждым шагом доказательства и не пропускайте детали.
2. Запишите выражения в четком и логическом порядке, чтобы было проще следовать рассуждениям.
3. Если возникнут сложности, попробуйте взять небольшие значения n и выполнить шаги доказательства вручную, чтобы увидеть закономерности.

Проверочное упражнение:
Докажите, что для любого натурального числа n выполняется следующее утверждение: 2^n + 3^n делится на 5.