Каким образом можно найти общее решение уравнения Y - 9y = e^2x?

Тема: Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Объяснение: Чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения Y" - 9y = e^2x, мы можем использовать метод вариации произвольных постоянных. Этот метод подразумевает, что мы сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем вводим вариацию произвольных постоянных для поиска частного решения неоднородного уравнения.

Первым шагом мы решаем однородное уравнение Y" - 9y = 0. Это уравнение имеет характеристическое уравнение r^2 - 9 = 0, которое факторизуется в (r - 3)(r + 3) = 0. Таким образом, у нас есть два корня: r₁ = 3 и r₂ = -3.

Общее решение для однородного уравнения имеет вид Y_h = c₁e^(3x) + c₂e^(-3x), где c₁ и c₂ - произвольные постоянные.

Затем мы ищем частное решение для неоднородного уравнения, предполагая, что частное решение имеет вид Y_p = Ae^(2x), где A - постоянная, которую нам нужно определить.

Подставляем частное решение в исходное уравнение и находим A. В результате получаем A = 1/5.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения Y" - 9y = e^2x имеет вид Y = Y_h + Y_p = c₁e^(3x) + c₂e^(-3x) + (1/5)e^(2x).

Советы: При работе с линейными неоднородными дифференциальными уравнениями, метод вариации произвольных постоянных является мощным инструментом. Помните, что общее решение содержит как решение соответствующего однородного уравнения, так и частное решение неоднородного уравнения. При решении однородного уравнения не забывайте найти характеристическое уравнение и его корни.

Практика: Найдите общее решение для следующего дифференциального уравнения: Y" + 4Y' + 4Y = 3x^2 - e^(-x).