1) Правильно ли утверждение: sin(7π/12) - sin(π/12) = √2 / 2? 2) Правильно ли утверждение: sin(11π/18) + sin(7π/18

Тригонометрия: Уравнения и идентичности

Утверждение 1: Правильное утверждение. Давайте рассмотрим, как можно проверить данное утверждение:

sin(7π/12) - sin(π/12)

Мы знаем следующую тригонометрическую формулу:

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Применим эту формулу к данному выражению:

sin(7π/12) - sin(π/12) = sin(3π/4 - π/6)

Теперь мы можем использовать значения sin(π/6) = 1/2 и cos(π/6) = √3/2:

= sin(π/4)cos(π/6) - cos(π/4)sin(π/6)
= √2/2 * √3/2 - √2/2 * 1/2
= √6/4 - √2/4
= (√6 - √2)/4

Мы должны упростить полученный результат, чтобы сравнить его с √2/2:

(√6 - √2)/4 = (√6/4) - (√2/4) = (√6/√6 * √6/4) - (√2/√2 * √2/4) = (√6/√24) - (√2/√8) = (√6/2√6) - (√2/2√2) = 1/2 - 1/2 = 0

Таким образом, получается, что данное утверждение неправильно.

Утверждение 2: Неправильное утверждение. Давайте рассмотрим, как можно проверить данное утверждение:

sin(11π/18) + sin(7π/18) = cos(2π/9)

Мы знаем следующую тригонометрическую формулу:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применим эту формулу к данному выражению:

sin(11π/18) + sin(7π/18) = sin(2π/3 + π/6)

Теперь мы можем использовать значения sin(π/6) = 1/2 и cos(π/6) = √3/2:

= sin(2π/3)cos(π/6) + cos(2π/3)sin(π/6)
= -1/2 * √3/2 + (-√3/2) * 1/2
= -√3/4 - √3/4
= -2√3/4
= -√3/2

Сравнивая полученный результат -√3/2 с cos(2π/9), оказывается, что данные значения не равны. Таким образом, данное утверждение неправильно.

Утверждение 3: Неправильное утверждение. Давайте рассмотрим, как можно проверить данное утверждение:

cos(5π/8) + cos(π/8) = √2cos(3π/8)

Мы знаем следующую тригонометрическую формулу:

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Применим эту формулу к данному выражению:

cos(5π/8) + cos(π/8) = cos(3π/8 + 2π/8)

Теперь мы можем использовать значение cos(2π/8) = 0:

= cos(3π/8)
= √2cos(3π/8) * 1
= √2cos(3π/8)

Таким образом, получается, что данное утверждение правильно.

Утверждение 4: Правильное утверждение. Давайте рассмотрим, как можно проверить данное утверждение:

cos(11π/24) - cos(π/8) = - sin(7π/24)

Мы знаем следующую тригонометрическую формулу:

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Применим эту формулу к данному выражению:

cos(11π/24) - cos(π/8) = cos(19π/24 - 3π/24)

Теперь мы можем использовать значение sin(3π/8) = (√2 - √6)/4 и cos(3π/8) = (√2 + √6)/4:

= cos(16π/24)
= cos(2π/3)
= -1/2

Сравнивая полученный результат -1/2 с - sin(7π/24), оказывается, что данные значения равны. Таким образом, данное утверждение правильно.

Утверждение 1: sin(7π/12) - sin(π/12) = √2 / 2
Инструкция: Для проверки данного утверждения, мы должны воспользоваться формулой разности для синуса:

sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ

В данном случае, α = 7π/12 и β = π/12. Подставим значения:

sin(7π/12 - π/12) = sin(6π/12) = sin(π/2) = 1

Теперь остается проверить, равно ли полученное значение 1, √2 / 2:

√2 / 2 = 1.41421356 / 2 ≈ 0.70710678

Таким образом, утверждение неверно, так как sin(7π/12) - sin(π/12) ≠ √2 / 2.

Утверждение 2: sin(11π/18) + sin(7π/18) = cos(2π/9)
Инструкция: Для проверки данного утверждения, мы должны воспользоваться формулой суммы для синуса:

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

В данном случае, α = 11π/18 и β = 7π/18. Подставим значения:

sin(11π/18 + 7π/18) = sin(18π/18) = sin(π) = 0

Теперь остается проверить, равно ли полученное значение 0, cos(2π/9):

cos(2π/9) ≈ 0.93969262

Таким образом, утверждение неверно, так как sin(11π/18) + sin(7π/18) ≠ cos(2π/9).

Утверждение 3: cos(5π/8) + cos(π/8) = √2cos(3π/8)
Инструкция: Для проверки данного утверждения, мы должны воспользоваться формулой суммы для косинуса:

cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ

В данном случае, α = 5π/8 и β = π/8. Подставим значения:

cos(5π/8 + π/8) = cos(6π/8) = cos(3π/4) = -√2/2

Теперь остается проверить, равно ли полученное значение -√2/2, √2cos(3π/8):

√2cos(3π/8) ≈ 1.0823922

Таким образом, утверждение неверно, так как cos(5π/8) + cos(π/8) ≠ √2cos(3π/8).

Утверждение 4: cos(11π/24) - cos(π/8) = -sin(7π/24)
Инструкция: Для проверки данного утверждения, мы должны воспользоваться формулой разности для косинуса:

cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

В данном случае, α = 11π/24 и β = π/8. Подставим значения:

cos(11π/24 - π/8) = cos(9π/24) = cos(3π/8) = √2/2

Теперь остается проверить, равно ли полученное значение √2/2, -sin(7π/24):

-sin(7π/24) ≈ -0.28656187

Таким образом, утверждение неверно, так как cos(11π/24) - cos(π/8) ≠ -sin(7π/24).