Какие значения x удовлетворяют неравенству f(x)> 0, где f(x)=8x-x^2-x^3/3?

Тема: Решение неравенства с помощью анализа функции

Описание: Для решения данного неравенства нам понадобится изучить функцию f(x) = 8x - x^2 - x^3/3.

1. Преобразуем функцию для удобства: f(x) = (24x - 3x^2 - x^3)/3.

2. Нам необходимо найти значения x, при которых функция f(x) > 0. Для этого проведем анализ функции и найдем ее интервалы возрастания и убывания.

3. Найдем точки, где производная функции равна нулю:

f"(x) = 8 - 2x - x^2 = 0.

Решая это квадратное уравнение, получаем два значения x: x = -2 и x = 4.

4. Теперь построим таблицу знаков для анализа интервалов возрастания и убывания функции:

   x       |  (-∞, -2)   |   (-2, 4)   |   (4, +∞)

--------------------------------------------------

   f"(x)   |    +       |      -      |    +

   f(x)    |    +       |     -       |    +

Знак "+" означает, что f(x) > 0, а знак "-" означает, что f(x) < 0.

5. Из таблицы видно, что функция f(x) > 0 на интервалах (-∞, -2) и (4, +∞). То есть, значения x, удовлетворяющие данному неравенству, находятся в этих интервалах.

6. Итак, ответом на задачу является интервал (-∞, -2) объединенный с интервалом (4, +∞).

Совет: При решении этой задачи, важно быть внимательным при анализе функции и построении таблицы знаков. Уделяйте особое внимание точкам перегиба и точкам экстремума.

Задача для проверки: Найдите значения x, при которых f(x) < 0.