Какие значения переменных являются парой такими, что многочлен 3x^2 - 6xy + y^2 + 5x + 96y - 68 принимает наименьшее

Тема: Многочлены и условия

Пояснение: Для решения этой задачи нам необходимо найти значения переменных, при которых многочлен принимает наименьшее значение. У нас есть условие, что x + 2y = 7. Мы можем воспользоваться методом подстановки, чтобы решить эту систему уравнений.

1. Подставим значение x из условия x + 2y = 7 в многочлен. Получим следующее уравнение: 3(7 - 2y)^2 - 6(7 - 2y)y + y^2 + 5(7 - 2y) + 96y - 68.
2. Раскроем скобки и упростим выражение.
3. Приведем многочлен к стандартному виду: 12y^2 - 170y + 301.
4. Найдем вершину параболы, так как у нас отрицательный коэффициент при самой большей степени y. Формула для нахождения вершины параболы y = -b/(2a), где a = 12 и b = -170.
5. Подставим полученное значение y в уравнение x + 2y = 7, чтобы найти значение x.
6. Ответ: наименьшее значение многочлена равно 1. Вершина параболы имеет координаты (7, 1).

Пример: Найдите значения переменных, при которых многочлен 3x^2 - 6xy + y^2 + 5x + 96y - 68 принимает наименьшее значение при условии x + 2y = 7.

Совет: При решении подобных задач полезно вспомнить основные понятия алгебры и умение решать системы уравнений методом подстановки. Не забывайте проверять полученное решение, подставляя найденные значения обратно в исходное уравнение.

Задание для закрепления: Найдите значения переменных, при которых многочлен 2x^2 - 4xy + y^2 + 3x + 8y - 2 принимает наименьшее значение при условии x + 2y = 5. Каково это наименьшее значение?