Какие значения параметра p являются действительными и приводят к наличию двух различных корней уравнения

Тема: Решение уравнения с параметром в интервале [10;20]

Пояснение:
Для нахождения значений параметра p, при которых уравнение имеет два различных корня на отрезке [10;20], мы можем использовать метод дискриминанта.

Для начала, давайте перепишем уравнение в более привычной форме:
sin^2(px/6) + 2(p-5)cos(px/6) - p^2 + 10p - 25 = 0

После этого мы можем раскрыть функцию cos(px/6) в сумму двух тригонометрических функций с использованием следующего тригонометрического тождества:
cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Теперь наше уравнение будет выглядеть следующим образом:
sin^2(px/6) + 2(p-5)cos(px/6) - p^2 + 10p - 25 = 0
sin^2(px/6) + 2(p-5)(cos^2(px/6) - sin^2(px/6)) - p^2 + 10p - 25 = 0

Далее проведем необходимые алгебраические преобразования для приведения уравнения к виду, удобному для применения метода дискриминанта:
(sin^2(px/6) - cos^2(px/6)) + 2(p-5)cos^2(px/6) + 2(p-5)sin^2(px/6) - p^2 + 10p - 25 = 0
sin^2(px/6) - cos^2(px/6) + 2(p-5)(sin^2(px/6) + cos^2(px/6)) - p^2 + 10p - 25 = 0
(sin^2(px/6) + 2(p-5)sin^2(px/6)) - (cos^2(px/6) - 2(p-5)cos^2(px/6)) - p^2 + 10p - 25 = 0
(1 + 2(p-5))sin^2(px/6) - (1 - 2(p-5))cos^2(px/6) - p^2 + 10p - 25 = 0

Теперь у нас есть уравнение вида A*sin^2(t) + B*cos^2(t) + C = 0, где A = 1 + 2(p-5), B = -(1 - 2(p-5)), C = -p^2 + 10p - 25.

Чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант D такого уравнения должен быть положительным, т.е. D > 0.

Дискриминант для данного уравнения можно найти по формуле:
D = B^2 - 4AC

Подставим значения A, B и C в формулу для D и приравняем D к нулю:
(-1 + 2(p-5))^2 - 4(1 + 2(p-5))(-p^2 + 10p - 25) > 0

Решим полученное неравенство относительно p, используя методы алгебры, чтобы найти интервалы значений параметра p, при которых D > 0 и, следовательно, уравнение имеет два различных корня на отрезке [10;20].

Демонстрация:
Пусть p = 15. Подставим значение p в уравнение:
sin^2(15x/6) + 2(15-5)cos(15x/6) - 15^2 + 10(15) - 25 = 0
sin^2(15x/6) + 2(10)cos(15x/6) - 225 + 150 - 25 = 0
sin^2(15x/6) + 20cos(15x/6) - 100 = 0

Совет:
- При решении уравнений с параметром, всегда старайтесь выражать параметр в виде конкретного числа и проверять выполняющиеся условия для этого числа.
- В данной задаче помните, что нужно провести алгебраические преобразования и использовать тригонометрические тождества, чтобы привести уравнение к виду, удобному для применения метода дискриминанта.

Задание:
Найдите значения параметра p, при которых уравнение имеет два различных корня на отрезке [10;20].