Какие значения параметра a приводят к тому, что система уравнений x^2+(2a-2)x+a^2-2a-3=0; √(x^2+(y-a)^2

Тема урока: Решение системы уравнений, имеющей одно решение

Описание:

Чтобы найти значения параметра a, при которых система уравнений имеет только одно решение, мы должны рассмотреть условия, при которых дискриминанты обоих уравнений системы равны нулю. Дискриминант уравнения квадратного вида ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

Для первого уравнения системы:
x^2 + (2a-2)x + a^2 - 2a - 3 = 0

Дискриминант равен:
D1 = (2a-2)^2 - 4(1)(a^2 - 2a - 3) = 4a^2 - 4a - 4a + 4 - 4a^2 + 8 = -4a + 12

Для второго уравнения системы:
√(x^2 + (y-a)^2) + √((x+4)^2 + (y-a)^2) = 4

Дискриминант равен:
D2 = 0, так как корень √(x^2 + (y-a)^2) + √((x+4)^2 + (y-a)^2) не может быть отрицательным числом.

Теперь, чтобы система имела только одно решение, значение D1 должно быть равно нулю, а значит:

-4a + 12 = 0 => 4a = 12 => a = 3

Таким образом, значение параметра a, при котором система уравнений имеет только одно решение, равно a = 3.

Например:
Задача: Найдите значения параметра a, при которых система уравнений x^2 + (2a-2)x + a^2 - 2a - 3 = 0; √(x^2 + (y-a)^2) + √((x+4)^2 + (y-a)^2) = 4 имеет только одно решение.

Совет:
Для нахождения значений параметров, при которых система уравнений имеет только одно решение, необходимо рассмотреть условия равенства нулю дискриминантов уравнений системы.

Задача на проверку:
Найдите значения параметра a, при которых система уравнений x^2 - 2ax + a^2 + ax - 2a - 3 = 0; √(x^2 + (y-a)^2) + √((x+4)^2 + (y-a)^2) = 5 имеет только одно решение.