Какие точки являются экстремумами функции f(x)=3x^2-2x^3+6?

Тема вопроса: Экстремумы функции

Объяснение: Для нахождения экстремумов функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 6, мы используем производную функции. Поскольку экстремумы функции находятся в точках, где её производная равна нулю или не существует, мы ищем такие точки, где производная равна нулю или точки, где производная меняет знак.

Шаг 1: Найдем производную функции, взяв производную каждого члена по отдельности.

f"(x) = d/dx(3x^2 - 2x^3 + 6)
f"(x) = 6x - 6x^2

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю.

6x - 6x^2 = 0
6x(1 - x) = 0

Таким образом, у нас есть две точки: x = 0 и x = 1.

Шаг 3: Проверим изменение знака производной в интервалах между и за пределами найденных точек.

Выберем значения x, например, x = -1, x = 0.5 и x = 2, и подставим их в производную функцию:
f"(-1) = 6(-1) - 6(-1)^2 = -6 - 6 = -12
f"(0.5) = 6(0.5) - 6(0.5)^2 = 3 - 0.75 = 2.25
f"(2) = 6(2) - 6(2)^2 = 12 - 24 = -12

Из проверки видно, что f"(-1) и f"(2) имеют разные знаки, что означает, что функция меняет свой характер (например, имеет экстремум) в этих интервалах.

Таким образом, экстремумы функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 6 находятся в точках x = 0 и x = 1.

Совет: Для лучшего понимания концепции экстремумов и нахождения точек экстремума функции, рекомендуется изучить процесс нахождения производной и анализ изменения знака производной в различных интервалах.

Практика: Найдите экстремумы функции g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5.