Какие точки следует обозначить как критические для функции у=х^3-|х-1|?

Тема занятия: Критические точки функции у=х^3-|х-1|

Объяснение: Чтобы найти критические точки функции, мы должны найти значения переменной х, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для функции у=х^3-|х-1|, мы будем рассматривать два случая: когда х<1 и когда х≥1.

1. Когда х<1:
В этом случае, |х-1|=-(х-1), так как х<1. Таким образом, функция можно переписать как у=х^3-(х-1).
Производная функции равна y"=3х^2-1.
Чтобы найти критическую точку, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: 3х^2-1=0.
Решив это квадратное уравнение, мы получаем два значения: х=-√(1/3) и х=√(1/3).

2. Когда х≥1:
В этом случае, |х-1|=х-1, так как х≥1. Таким образом, функция можно переписать как у=х^3-(х-1).
Производная функции равна y"=3х^2-1.
Опять приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: 3х^2-1=0.
Решая это квадратное уравнение, мы получаем два значения: х=-√(1/3) и х=√(1/3).

Таким образом, критическими точками для функции у=х^3-|х-1| являются х=-√(1/3) и х=√(1/3) независимо от значения х.

Совет: Для лучшего понимания критических точек функции, всегда полезно визуализировать график функции и проанализировать его поведение вблизи этих точек.

Задача для проверки: Найдите критические точки функции у=2х^3-|х-2| и определите их характер (максимум, минимум, точка перегиба).