Какие интервалы можно определить для монотонности и экстремумов функции f(x) = 1/3x^3 + 3/2x^2 - 4x

Интервалы монотонности и экстремумов функции f(x)

Разъяснение: Для определения интервалов монотонности и экстремумов функции f(x) = 1/3x^3 + 3/2x^2 - 4x мы должны взять производную этой функции и найти точки, где производная равна нулю или не существует. После этого мы можем использовать тест знаков или вторую производную, чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей на этих интервалах и на сколько значений x функция имеет экстремумы.

Шаги для определения интервалов монотонности и экстремумов функции:

1. Найдите производную функции f"(x).
f"(x) = x^2 + 3x - 4

2. Решите уравнение f"(x) = 0 для нахождения точек, где производная равна нулю.
x^2 + 3x - 4 = 0
Решив это уравнение, мы получим два значения x: x = -4 и x = 1.

3. Проверьте знак производной между найденными корнями и за пределами этих корней, чтобы определить интервалы монотонности.
Мы можем использовать тест знаков. Вместо этого просто построим таблицу со знаками производной.

| x | (-∞, -4) | (-4, 1) | (1, +∞) |
|-----|----------|---------|---------|
| f"(x) | - | + | + |

По таблице мы видим, что функция f(x) убывает на интервале (-∞, -4) и возрастает на интервалах (-4, 1) и (1, +∞).

4. Чтобы определить экстремумы, найдите вторую производную функции f""(x).
f""(x) = 2x + 3

5. Определите знак второй производной на интервалах между и за пределами найденных корней.
| x | (-∞, -4) | (-4, 1) | (1, +∞) |
|-----|----------|---------|---------|
| f""(x) | - | + | + |

Функция f(x) имеет локальный минимум в точке x = -4 и нет локального максимума.

Совет: Чтобы легче понять и запомнить этот процесс, рекомендуется провести дополнительные упражнения, решив различные задачи, чтобы набить руку.

Дополнительное задание: Определите интервалы монотонности и экстремумы для функции g(x) = x^4 - 4x^2 + 3.