Какие целые числа n делают выражение 6^(2n)+3^(n+2)+3^n кратным?

Содержание: Деление нацело и выявление кратности

Инструкция: Чтобы выражение 6^(2n) + 3^(n+2) + 3^n было кратным некоторому числу, необходимо, чтобы оно делилось на это число без остатка. Чтобы найти целые числа n, которые делают данное выражение кратным, мы должны разобраться с каждым слагаемым по отдельности.

Первое слагаемое: 6^(2n). По свойству степени с нечетным основанием, данное выражение всегда будет четным, вне зависимости от значения н.

Второе слагаемое: 3^(n+2). Здесь нам нужно понять, при каких значениях n это выражение будет кратным 3. При анализе основания 3 выводим, что возможны две ситуации:
1) n кратно 3, т.е. n=3k, где k - целое число;
2) n+2 кратно 3, т.е. n+2=3k, где k - целое число.

Третье слагаемое: 3^n. Данное слагаемое будет кратным 3 для всех целых значений n.

Анализируя полученные результаты, мы можем заключить, что выражение 6^(2n) + 3^(n+2) + 3^n будет кратным тогда и только тогда, когда:
1) n - четное число;
2) n + 2 кратно 3.

Например: Найдите все целые числа n, при которых выражение 6^(2n) + 3^(n+2) + 3^n будет кратным.

Совет: Чтобы более легко понять, какое слагаемое делится нацело на заданное число, можно представить каждое слагаемое в виде степеней оснований. Также помните, что четное число делится на 3 без остатка тогда и только тогда, когда оно кратно 3.

Ещё задача: Найдите все целые числа n, при которых выражение 4^(2n) + 5^(n+2) + 2^n делится на 2 без остатка.