Какие будут размеры металлической ёмкости в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и открытым

Тема урока: Размеры металлической ёмкости в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и открытым верхом для минимизации затрат металла.

Пояснение: Чтобы минимизировать затраты металла при данной ёмкости, нужно найти такие размеры прямоугольного параллелепипеда, которые обеспечат максимальный объем с минимальной поверхностью. Пусть сторона квадратного основания равна "a", а высота параллелепипеда равна "h".

Объем (V) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: V = a² * h.

Поверхность (S) параллелепипеда складывается из площадей всех его сторон. Для этой задачи, учитывая, что верхняя сторона открыта, поверхность будет равна: S = a² + 4ah.

Так как объем параллелепипеда равен 270 литрам, то V = 270, а S нам нужно минимизировать.

Мы можем решить эту задачу методом оптимизации, подставляя значение объема (270) в формулу поверхности и затем находя ее минимум, взяв производную.

Например:
Найдите размеры металлической ёмкости в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и открытым верхом для минимизации затрат металла при ёмкости 270 литров.

Совет:
Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется изучить отношения между объемом и поверхностью параллелепипеда. Также стоит освоить навыки работы с производными для оптимизации функций.

Дополнительное упражнение:
Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и открытым верхом, которые минимизируют затраты металла при заданной ёмкости 500 литров.

Тема: Размеры металлической ёмкости

Разъяснение: Чтобы минимизировать затраты металла при изготовлении металлической ёмкости, ее размеры должны быть оптимальными. У нас есть несколько ограничений: ёмкость имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и открытым верхом, а емкость должна составлять 270 литров.

Для решения задачи нам необходимо найти размеры, которые обеспечат минимальные затраты металла. Давайте предположим, что сторона квадратного основания равна x, а высота параллелепипеда равна h.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле V = x^2 * h.

У нас есть ограничение: V = 270 литров.

Подставим значение V в уравнение и решим его:

x^2 * h = 270

h = 270 / x^2

Теперь нам нужно минимизировать затраты металла, которые зависят от площади поверхности параллелепипеда. Площадь поверхности S вычисляется по формуле S = 2x^2 + 4xh.

Подставим значение h из предыдущего уравнения в формулу S:

S = 2x^2 + 4x * (270 / x^2)

S = 2x^2 + 1080 / x

Теперь у нас есть выражение для площади поверхности S в зависимости от x. Чтобы найти минимальную площадь поверхности и, следовательно, минимальные затраты металла, возьмем производную от выражения S по x и приравняем ее к нулю.

dS/dx = 4x - 1080 / x^2 = 0

4x = 1080 / x^2

4x^3 = 1080

x^3 = 270

Получаем x ≈ 6.16.

Теперь мы можем найти значение h, подставив x в уравнение h = 270 / x^2:

h = 270 / (6.16)^2 ≈ 7.07.

Таким образом, оптимальные размеры металлической ёмкости в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и открытым верхом, чтобы минимизировать затраты металла при емкости 270 литров, составят примерно 6.16 метра на 6.16 метра на 7.07 метра.

Совет: Чтобы лучше понять эту задачу, можно представить металлическую ёмкость в виде раскрытой коробки и визуально представить, как можно уменьшить затраты металла. Также полезно знать формулы для объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Дополнительное задание: Найдите оптимальные размеры металлической ёмкости, чтобы минимизировать затраты металла при емкости 500 литров.