Как вычислить значение выражения 4sin^4a/5sin^2a+15cos^2a, если tga = корень?

Тема занятия: Вычисление значения выражения с использованием тригонометрических функций

Описание: Чтобы вычислить значение данного выражения, мы должны использовать известные тригонометрические соотношения. Дано, что tg(a) = sqrt(3). Рассмотрим данное выражение шаг за шагом:

1. Заметим, что у нас есть sin^2(a) и cos^2(a). Воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Тогда можно выразить sin^2(a) = 1 - cos^2(a) и cos^2(a) = 1 - sin^2(a).

2. Подставим полученные выражения в исходное выражение: 4sin^4(a) / (5sin^2(a) + 15cos^2(a)) = 4(1 - cos^2(a))^2 / (5(1 - cos^2(a)) + 15cos^2(a)).

3. Упростим числитель и знаменатель. Раскроем квадрат в числителе: 4(1 - cos^2(a))^2 = 4(1 - 2cos^2(a) + cos^4(a)), а затем раскрыть скобки в знаменателе и привести подобные слагаемые: 5 - 5cos^2(a) + 15cos^2(a).

4. Подставим значения cos^2(a) и упростим выражение: 4(1 - 2cos^2(a) + cos^4(a)) / (5 - 5cos^2(a) + 15cos^2(a)) = 4 - 8cos^2(a) + 4cos^4(a) / 5 + 10cos^2(a).

5. Умножим числитель и знаменатель на 5, чтобы избавиться от дробей: (4 - 8cos^2(a) + 4cos^4(a)) / (5 + 10cos^2(a)).

6. Подставим значение cos^2(a) = 1 - sin^2(a) = 1 - (sqrt(3))^2 = 1 - 3 = -2.

7. Вычислим значение числителя и знаменателя: (4 - 8(-2) + 4(-2)^4) / (5 + 10(-2)) = (4 + 16 + 64) / (5 - 20) = 84 / (-15) = -5.6.

Таким образом, значение выражения равно -5.6.

Совет: При решении задач по тригонометрии помните тригонометрические тождества и стандартные значения для углов. Не забывайте также выражать одну тригонометрическую функцию через другие, чтобы упростить выражения и найти более удобные формы записи.

Практика: Вычислите значение выражения 3sin^2(a) + 4cos^2(a), если задано, что tg(a) = 3/4.