Как вычислить НОД и НОК для следующих чисел: 1. (25⋅32⋅7, 23⋅33⋅53) 2. (23⋅55⋅77, 32⋅5⋅112, 2⋅33⋅7⋅11

Тема урока: Вычисление НОД (наибольшего общего делителя) и НОК (наименьшего общего кратного)

Пояснение: НОД двух или более чисел - это наибольшее число, на которое они все делятся без остатка. НОК двух или более чисел - это наименьшее число, которое делится на все эти числа без остатка.

Для вычисления НОД и НОК можно использовать различные методы. Один из самых популярных методов - это разложение чисел на простые множители и сравнение их степеней в разложении.

Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности:

1. Вычисление НОД и НОК для чисел (25⋅32⋅7, 23⋅33⋅53):

Для вычисления НОД мы должны найти все общие простые множители и взять их минимальные степени. Из разложения чисел получаем:
25⋅32⋅7 = (5^2)⋅(2^3)⋅7
23⋅33⋅53 = 23⋅(3^3)⋅(5^3)

Общими простыми множителями здесь являются только 5 и 7. Возьмем их минимальные степени:
НОД = 5^2 ⋅ 7 = 175

Для вычисления НОК, мы берем все простые множители с максимальными степенями, которые встречаются в разложении чисел:
НОК = 23⋅(3^3)⋅(5^3)⋅(2^3)⋅7 = 29 400

Таким образом, НОД равен 175, а НОК равен 29 400.

2. Вычисление НОД и НОК для чисел (23⋅55⋅77, 32⋅5⋅112, 2⋅33⋅7⋅11):

Разложение чисел:
23⋅55⋅77 = 23⋅(5^1)⋅(7^2)
32⋅5⋅112 = (2^5)⋅(5^1)⋅(7^2)
2⋅33⋅7⋅11 = (2^1)⋅(3^1)⋅(7^1)⋅11

Общими простыми множителями являются 5 и 7. Их минимальные степени:
НОД = 5^1 ⋅ 7^2 = 245

Простые множители с максимальными степенями:
НОК = (2^5)⋅(3^1)⋅(5^1)⋅(7^2)⋅11 = 46 200

Таким образом, НОД равен 245, а НОК равен 46 200.

Совет: Для нахождения НОД и НОК, разложение чисел на простые множители является эффективным подходом. Помните, что НОД - это минимальная степень общих простых множителей, а НОК - это максимальная степень всех простых множителей.

Задание для закрепления: Найдите НОД и НОК для чисел (12⋅22⋅52, 33⋅52⋅7⋅23).