Как решить уравнение cos2x-2+18*3^x-3^x+2*cos2x=0?

Суть вопроса: Решение уравнения с тригонометрическими функциями и степенными выражениями

Разъяснение: Для решения данного уравнения необходимо использовать некоторые свойства тригонометрических функций и алгебраические методы.

1. Сначала приведем подобные слагаемые. Обратите внимание, что в данном уравнении присутствует как косинус, так и степенные выражения. Мы сначала сложим все степенные выражения и затем все косинусы:

cos2x + 2*cos2x + 18*3^x - 3^x = 0

3*cos2x + 18*3^x - 3^x = 0

2. Теперь вынесем общий множитель из первых двух слагаемых (cos2x + 2*cos2x = 3*cos2x):

3*cos2x + 18*3^x - 3^x = 0

3. Затем проведем перегруппировку слагаемых:

3*cos2x = 3^x - 18*3^x

3*cos2x = (1 - 18)*3^x

3*cos2x = -17*3^x

cos2x = (-17/3)*3^x

4. Далее применим свойство тригонометрической функции косинуса:

cos2x = cos^2(x) - sin^2(x)

(cos^2(x) - sin^2(x)) = (-17/3)*3^x

5. Мы можем использовать идентичность тригонометрии sin^2(x) = 1 - cos^2(x) для подстановки:

cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = (-17/3)*3^x

6. Упростим уравнение:

cos^2(x) - 1 + cos^2(x) = (-17/3)*3^x

2*cos^2(x) - 1 = (-17/3)*3^x

cos^2(x) = (-17/3)*3^x + 1

7. Теперь мы можем использовать свойство тригонометрической функции косинуса, что cos^2(x) = 1 - sin^2(x), чтобы заменить cos^2(x):

1 - sin^2(x) = (-17/3)*3^x + 1

-sin^2(x) = (-17/3)*3^x

sin^2(x) = (17/3)*3^x

sin(x) = sqrt((17/3)*3^x)

8. Используя свойство тригонометрической функции синуса, что sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)), мы можем заменить sin(x):

sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt((17/3)*3^x)

1 - cos^2(x) = (17/3)*3^x

-cos^2(x) = (17/3)*3^x - 1

cos^2(x) = 1 - (17/3)*3^x

9. Теперь мы можем воспользоваться свойством тригонометрической функции косинуса, что cos^2(x) = 1 - sin^2(x), чтобы заменить cos^2(x):

1 - sin^2(x) = 1 - (17/3)*3^x

-sin^2(x) = -(17/3)*3^x

sin^2(x) = (17/3)*3^x

sin(x) = sqrt((17/3)*3^x)

10. Получили тригонометрическое уравнение sin(x) = sqrt((17/3)*3^x). Для решения этого уравнения требуется использование численных методов или графиков.

Совет: Для более легкого понимания данного темы рекомендуется изучить основные свойства тригонометрических функций и их взаимосвязь с алгеброй. Также полезно разобраться в способах решения уравнений, встречающихся в данной теме.

Практика: Решите уравнение sin(2x) = 0.5.