Как получить приближенное значение числового выражения 1,074^5 без использования калькулятора? Используйте

Суть вопроса: Приближенные значения числовых выражений

Описание: Для получения приближенных значений числовых выражений без использования калькулятора мы можем использовать формулу приближенного равенства. Эта формула основана на идеи разложения функции в ряд Тейлора и приближает значение функции через значение её производной в определенной точке. Формула выглядит следующим образом:

f(x) ≈ f(a) + f′(a) * (x - a)

Где f(x) - значение выражения, f(a) - значение выражения в точке a, f′(a) - значение производной функции в точке a, и (x - a) - расстояние между точками a и x.

В данном случае, наше выражение 1,074^5. Мы можем выбрать значение a, например, 1,08, так чтобы вычисление стало более удобным. Также, возведение в степень пяти можно представить как произведение 1,074 в степени 4 и 1,074.

Таким образом, мы можем записать наше выражение как:

1,074^5 ≈ (1,074^4) * 1,074

Теперь мы можем использовать формулу для приближенного вычисления значения 1,074^4 в точке 1,08. Расстояние между точками (x - a) равно 1,074 - 1,08 = -0,006.

Мы также должны вычислить производную функции в точке a. Возьмем производную от функции f(x) = x^4 в точке 1,08. Она будет равна 4 * 1,08^3 ≈ 5,603.

Заменив значения в формуле приближенного равенства, получим:

1,074^5 ≈ (1,074^4) * 1,074 ≈ (1,08^4 + 5,603 * -0,006) * 1,074 ≈ (1,368 + -0,03361) * 1,074 ≈ 1,33439 * 1,074 ≈ 1,4325

Таким образом, приближенное значение выражения 1,074^5 без использования калькулятора будет около 1,4325 (округлено до тысячных).

Совет: Чтобы более легко понять и применять формулу приближенного равенства, рекомендуется хорошо знать свойства и правила арифметических действий, а также выражения в разложении в ряд Тейлора. Проявляйте внимательность при выборе точки a, так как чем ближе она будет к исходной точке, тем точнее будет приближенное значение. Также, имейте в виду, что приближенные значения могут содержать некоторую погрешность, поэтому необходимо округлять результат до определенного числа знаков после запятой в соответствии с условиями задачи.

Дополнительное упражнение: Приближенно вычислите значение выражения 2,998^3 без использования калькулятора, используя формулу приближенного равенства. Округлите ответ до тысячных.

Предмет вопроса: Приближенное значение числового выражения

Пояснение: Для того чтобы получить приближенное значение числового выражения 1,074^5, мы можем использовать формулу приближенного равенства, известную как линейное приближение Тейлора. Формула выглядит следующим образом: f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a), где f(a) - значение функции в точке "a", f′(a) - производная функции в точке "a", x - значение, для которого мы хотим получить приближенное значение.

В данном конкретном случае, мы хотим найти значение выражения 1,074^5. Мы можем использовать приближение вокруг значения "a" равного 1. Первым шагом мы найдем значение функции и производной в точке "a" и подставим их в формулу.

f(a) = 1,074^a = 1,074^1 = 1,074

f′(a) = ln(1,074) ≈ 0,0701156 (натуральный логарифм от 1,074)

Подставляя значения в формулу, получим:

f(x) ≈ 1,074 + 0,0701156(x−1)

Теперь мы можем подставить значение x = 5 и вычислить приближенное значение:

f(5) ≈ 1,074 + 0,0701156(5−1) = 1,074 + 0,0701156(4) = 1,074 + 0,2804624 ≈ 1,3544624

Ответ: Приближенное значение числового выражения 1,074^5 равно около 1,354 (округлено до тысячных).

Совет: Чтобы лучше понять линейное приближение Тейлора и его использование, рекомендуется изучить основы дифференцирования и натуральный логарифм как предварительные понятия.

Задача для проверки: Найдите приближенное значение выражения 2,738^4, используя линейное приближение Тейлора. Ответ округлите до тысячных.