Как получить предел функции без применения правила Лопиталя?

Суть вопроса: Предел функции без применения правила Лопиталя

Инструкция: При решении задач на нахождение пределов функций, иногда возникает необходимость искать пределы без применения правила Лопиталя. Это может быть полезно, особенно когда невозможно применить это правило, например, когда в знаменателе у функции нет предела, когда расходится знаменатель и делитель, либо когда лимит равен бесконечности. В таких случаях, можно использовать альтернативные методы нахождения пределов.

Сначала необходимо попытаться упростить выражение путем алгебраических преобразований, факторизации или замены переменных. Если после этого предел эквивалентен известному пределу или может быть выражен в виде отношения двух известных пределов, то решение можно получить без применения правила Лопиталя.

Если таких преобразований нет, можно использовать другие методы, основанные на точных значениях пределов элементарных функций, свойствах сходимости, арифметических операциях, теоремах о замене. Например, можно применить формулы типа "предел суммы, разности, произведения".

Дополнительный материал: Найдем предел функции f(x) = (x^3 - 2x^2 - x + 2) / (x^2 - 4), когда x стремится к 2.

Решение:
1. Попытаемся упростить выражение: f(x) = [(x-1)(x+2)(x-1)] / [(x-2)(x+2)].
2. После сокращений, получаем: f(x) = (x-1)/(x-2).
3. Так как функция простейшая, мы можем вычислить предел простым подставлением: Lim(x->2) f(x) = Lim(x->2) (x-1)/(x-2) = 1.

Совет: Если вы столкнулись с задачей на нахождение предела функции без применения правила Лопиталя, внимательно прочитайте условие задачи и попробуйте упростить функцию путем алгебраических преобразований. Если это не работает, ознакомьтесь с различными методами нахождения пределов, такими как формулы типа "предел суммы, разности, произведения". Если вам все-таки трудно решить задачу, обратитесь за помощью к учителю или посмотрите дополнительные материалы учебника.

Дополнительное упражнение: Найдите предел функции f(x) = (2x^3 + 3x^2 - 5x + 1) / (x^2 + 4x - 5), когда x стремится к -1.