Can you demonstrate that 3^n+2 +2^3n is divisible by 5 for any natural number?

Предмет вопроса: Доказательство делимости на 5 для выражения 3^n+2 + 2^3n

Пояснение: Чтобы доказать, что выражение 3^n+2 + 2^3n делится на 5 для любого натурального числа n, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Мы начнем с проверки базового случая, а затем продолжим с шагом индукции, чтобы убедиться, что выражение будет всегда делиться на 5 для всех натуральных чисел n.

Базовый случай: Проверим выражение для n = 1:
3^1+2 + 2^3*1 = 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35. Заметим, что 35 делится на 5 без остатка.

Шаг индукции: Предположим, что выражение 3^k+2 + 2^3k делится на 5 для некоторого натурального числа k. Мы должны доказать, что выражение будет делиться на 5 для k+1.

Рассмотрим выражение 3^(k+1)+2 + 2^3(k+1):
3^(k+1)+2 + 2^3(k+1) = 3*3^k+2 + 2^3k+3.

По индуктивному предположению, 3^k+2 + 2^3k делится на 5, поэтому мы можем представить его как 5m, где m - некоторое целое число.

Теперь мы можем переписать выражение:
3^(k+1)+2 + 2^3(k+1) = 3*3^k+2 + 2^3k+3 = 3(3^k+2) + 8*2^3k.

Учитывая, что у нас есть 5m (индуктивное предположение) и 8 делится на 5 с остатком 3, мы можем записать:
3(3^k+2) + 8*2^3k = 3(3^k+2) + 5m" + 3(2^3k), где m" - другое целое число.

Мы можем объединить первое и третье слагаемые:
3(3^k+2) + 5m" + 3(2^3k) = 3[(3^k+2) + (2^3k)] + 5m".

Таким образом, мы видим, что выражение 3^(k+1)+2 + 2^3(k+1) представляет собой произведение 3 на целое число, увеличенное на 5m". Это значит, что оно также делится на 5.

Итак, мы доказали, что выражение 3^n+2 + 2^3n делится на 5 для любого натурального числа n с помощью метода математической индукции.

Совет: Если вы хотите лучше понять эту концепцию, рекомендуется проработать несколько конкретных числовых примеров с помощью формул. Не забудьте также внимательно просмотреть каждый шаг доказательства.

Задание: Верно ли, что выражение 3^(n+1)+2 + 2^3(n+1) также делится на 5?