Как найти значение выражения ctg^2(630°+2x), если известно, что cos x = 0.5?

Тема: Вычисление значения тригонометрического выражения

Разъяснение: Мы хотим найти значение выражения `ctg^2(630°+2x)`, при условии, что `cos x = 0.5`. Для решения этой задачи нам понадобится использовать тригонометрические тождества и определения тригонометрических функций.

1. Начнем с определения котангенса:
`ctg θ = 1/tan θ`

2. Затем воспользуемся формулой:
`tan^2 θ = sec^2 θ - 1`

3. Сначала найдем `tan x` по определению:
`tan x = sin x / cos x`

4. Так как у нас есть значение `cos x = 0.5`, мы можем найти `sin x` используя тождество Пифагора:
`sin^2 x = 1 - cos^2 x`

5. Подставим найденные значения в исходное выражение:
`ctg^2(630°+2x) = (1/tan(630°+2x))^2`
Заметим, что `630° = 360° + 270°`, и тригонометрические функции повторяются через каждые 360°.
Следовательно, `ctg(630°+θ) = ctg θ для любого значения θ`.

6. Итак, мы можем записать выражение как:
`ctg^2(630°+2x) = (1/tan 2x)^2`

7. Используя формулу `tan^2 θ = sec^2 θ - 1`, мы получим:
`ctg^2(630°+2x) = (1/(sec^2 2x - 1))^2 = (1/(1/cos^2 2x - 1))^2`

8. Заменим `cos^2 2x` на `1 - sin^2 2x` с использованием тождества Пифагора:
`ctg^2(630°+2x) = (1/(1/(1 - sin^2 2x) - 1))^2`

9. Подставим значение `sin^2 x `и продолжим упрощение:
`ctg^2(630°+2x) = (1/(1/(1 - (1 - cos^4 x)) - 1))^2`

10. Окончательно, мы получаем:
`ctg^2(630°+2x) = (1/(1/(1 - (1 - 0.5^4)) - 1))^2`

Совет: При решении подобных задач следует внимательно использовать известные тригонометрические тождества и, при необходимости, преобразовывать выражения с использованием этих тождеств для упрощения решения.

Задание: Найдите значение выражения `ctg^2(630°+2x)`, если известно, что `sin x = 0.3`.