Как найти решение уравнения 5sin^2x-12sinx+4=0?

Тема занятия: Решение тригонометрического уравнения

Объяснение: Для решения данного тригонометрического уравнения мы будем использовать замену переменной. Обозначим sin(x) за z. Тогда наше уравнение может быть переписано в виде: 5z^2 - 12z + 4 = 0.

Мы знаем, что для решения квадратного уравнения вида az^2 + bz + c = 0, мы можем использовать формулу дискриминанта. В данном случае, a = 5, b = -12 и c = 4.

Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

Вычислим дискриминант D для нашего уравнения: D = (-12)^2 - 4 * 5 * 4 = 144 - 80 = 64.

Теперь, если D > 0, у нас есть два различных корня; если D = 0, у нас есть один корень, и если D < 0, у уравнения нет действительных корней.

В нашем случае D = 64, что больше нуля, поэтому у нас будет два действительных корня.

Формула для нахождения корней: z = (-b ± √D) / (2a).

Подставляем наши значения:
z1 = (-(-12) + √64) / (2 * 5) = (12 + 8) / 10 = 20 / 10 = 2,
z2 = (-(-12) - √64) / (2 * 5) = (12 - 8) / 10 = 4 / 10 = 0.4.

Теперь мы нашли значения z1 и z2. Однако, мы заменили sin(x) на z, поэтому нам нужно найти обратную функцию и найти значения для x.

Для z1: sin(x) = z1 = 2.
Для z2: sin(x) = z2 = 0.4.

Решим обратную функцию sin(x) = 2. Заметим, что значение sin(x) не может быть больше 1, поэтому у нас нет действительных решений для данного случая.

Однако, решим обратную функцию sin(x) = 0.4.
x = arcsin(0.4) ≈ 0.4115 + 2πn, где n - целое число.

Например: Найдите решение уравнения 5sin^2x-12sinx+4=0.

Совет: Для решения тригонометрических уравнений, всегда можно делать замену sin(x) или cos(x) на другую переменную, например z или y. Это упрощает решение и приводит уравнение к уже известным формулам.

Упражнение: Найдите решение уравнения 3cos^2x - 2cosx - 1 = 0.