Как найти ранг матрицы с помощью приведения к ступенчатому виду? Как определить базисный минор?

Содержание вопроса: Ранг матрицы и базисный минор

Пояснение: Ранг матрицы - это максимальное число линейно независимых столбцов или строк данной матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду позволяет определить ее ранг. Чтобы найти ранг матрицы с помощью приведения к ступенчатому виду, нужно выполнить следующие шаги:

1. Расположите все ненулевые строки матрицы по возрастанию числа нулей в них.

2. Если верхний левый элемент матрицы нулевой, поменяйте его местами с другим ненулевым элементом ниже.

3. Затем приводите остальные элементы в столбце, содержащем верхний левый элемент, к нулю, вычитая из строк под ним подходящую комбинацию строк.

4. Повторяйте шаги 2 и 3 для всех оставшихся столбцов слева направо.

5. После приведения матрицы к ступенчатому виду, ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице.

Базисный минор матрицы - это определитель квадратной подматрицы, полученной вычеркиванием столбцов и строк, не содержащих те строки и столбцы, где базисные переменные не равны нулю. Для определения базисного минора нужно:

1. Выберите базисные столбцы и строки матрицы.

2. Удалите все остальные столбцы и строки.

3. Полученная матрица будет являться базисным минором.

Пример: Найдем ранг матрицы с помощью приведения ее к ступенчатому виду.

Матрица A:

1 2 3

4 5 6

7 8 9



Приведение матрицы A к ступенчатому виду:

1 2 3

0 -3 -6

0 0 0



Ранг матрицы A: 2

Совет: При решении задач на нахождение ранга матрицы с помощью приведения к ступенчатому виду всегда следите за элементами главной диагонали и старайтесь сводить их к нулю, вычитая из строк подходящие комбинации строк.

Упражнение: Найдите ранг матрицы B с помощью приведения ее к ступенчатому виду.

Матрица B:

2 0 1

1 0 2

3 1 4



Приведение матрицы B к ступенчатому виду укажите пошагово и найдите ранг матрицы B.