Как найти решение тригонометрического уравнения sin2x/tgx-1=0?

Предмет вопроса: Решение тригонометрического уравнения sin2x/tgx-1=0

Инструкция: Для нахождения решения тригонометрического уравнения sin2x/tgx-1=0 мы будем использовать основные свойства тригонометрии и алгебры.

1. Начнем с приведения дроби в уравнении к общему знаменателю. Заметим, что tgx равно sinx/cosx, поэтому наше уравнение можно переписать следующим образом: sin2x/(sinx/cosx) - 1 = 0.

2. Упростим дробь, перемножив числитель и знаменатель уравнения на cosx, получим: (sin2x * cosx - sinx) / sinx = 0.

3. Применим тригонометрическую формулу двойного угла sin2x = 2sinxcosx: (2sinxcosx * cosx - sinx) / sinx = 0.

4. Раскроем скобки и сократим на sinx: 2cos2x - 1 = 0.

5. Полученное уравнение является квадратным по cosx. Поставим его в каноническую форму, приравняв его к нулю: 2cos2x - 1 = 0.

6. Решим полученное уравнение: cos2x = 1/2. Для этого воспользуемся формулой cos2x = (cos^2)x - (sin^2)x = 1 - (sin^2)x.

7. Подставим значение cos2x в полученное уравнение и решим полученное квадратное уравнение: 1 - (sin^2)x = 1/2.

8. Решим получившееся уравнение: (sin^2)x = 1/2. Возведем обе части уравнения в квадрат: sinx = ±sqrt(1/2).

9. Извлечем квадратный корень и получим решение исходного уравнения: sinx = ±sqrt(1/2). Так как sinx принимает значения от -1 до 1, то у нас два возможных решения: x = π/4 + 2nπ и x = 3π/4 + 2nπ, где n - целое число.

Например: Найдите решение уравнения sin2x/tgx-1=0.

Совет: Для решения тригонометрических уравнений чаще всего необходимо привести уравнение к общему знаменателю, использовать тригонометрические и алгебраические свойства, а также знакомиться с основными тригонометрическими формулами.

Упражнение: Найдите решение уравнения 2cos2x - cosx - 1 = 0.