Как найти решение для системы уравнений { x^2+y^2=10 { x^2-2xy+y^2=16?

Название: Решение системы уравнений методом подстановки

Инструкция:
Для решения данной системы уравнений методом подстановки, мы должны выразить одну переменную через другую в одном уравнении и подставить это выражение в другое уравнение.

Давайте начнем с первого уравнения из системы:

x^2 + y^2 = 10 (1)

Далее, выразим x^2 из второго уравнения:

x^2 - 2xy + y^2 = 16 (2)

Вычтем из уравнения (2) уравнение (1):

(x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 + y^2) = 16 - 10

Мы можем упростить это уравнение:

-2xy = 6

Затем, выразим x через y из этого уравнения:

x = -3/y (3)

Теперь, мы подставим выражение для x из уравнения (3) в уравнение (1):

(-3/y)^2 + y^2 = 10

Упрощая это уравнение, получим:

9/y^2 + y^2 = 10

Умножим оба части на y^2 и получим:

9 + y^4 = 10y^2

Теперь, перепишем это уравнение в виде квадратного уравнения:

y^4 - 10y^2 + 9 = 0 (4)

Затем, решим это уравнение с помощью метода подстановки или факторизации.

Применяя метод подстановки или факторизации, мы найдем значения y:

y^2 = 1 или y^2 = 9

Отсюда, следуют два набора решений:

1. y^2 = 1:
y = 1 и y = -1

2. y^2 = 9:
y = 3 и y = -3

Теперь, подставляем значения y в уравнение (3), чтобы найти соответствующие значения x:

При y = 1, x = -3/1 = -3
При y = -1, x = -3/-1 = 3
При y = 3, x = -3/3 = -1
При y = -3, x = -3/-3 = 1

Таким образом, решение системы уравнений { x^2+y^2=10, x^2-2xy+y^2=16 } состоит из четырех пар значений (x, y):
(-3, 1), (3, -1), (-1, 3), (1, -3).

Демонстрация:
Решите систему уравнений методом подстановки:
{ x^2+y^2=10, x^2-2xy+y^2=16 }

Совет:
При решении систем уравнений методом подстановки, важно выразить одну переменную через другую и подставить это выражение в оставшееся уравнение. Рекомендуется внимательно следить за каждым шагом и не допускать ошибок при подстановке.

Упражнение:
Решите следующую систему уравнений методом подстановки:
{ x^2 - y^2 = 9, x + y = 5 }

Тема: Решение системы уравнений

Пояснение: Для того чтобы найти решение системы уравнений, необходимо использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания. В данном случае мы можем воспользоваться методом подстановки.

Начнем с первого уравнения системы:
x^2 + y^2 = 10 ----- уравнение (1)

Мы можем выразить x^2 из второго уравнения и подставить это значение в первое уравнение:

x^2 - 2xy + y^2 = 16

Разделим это уравнение на 2:

x^2 - 2xy + y^2 = 16 ----- уравнение (2)

(1) - (2):

4xy = -6

Теперь мы можем выразить x через y:

x = -3/(2y)

Подставляем это значение в уравнение (1):

(-3/(2y))^2 + y^2 = 10

Раскрываем скобки:

9/(4y^2) + y^2 = 10

Умножаем обе стороны на 4y^2:
9 + 4y^4 = 40y^2

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

4y^4 - 40y^2 + 9 = 0

Решаем это уравнение, например, методом декомпозиции:

(y^2 - 9)(4y^2 - 1) = 0

Итак, имеем два уравнения:

y^2 - 9 = 0

4y^2 - 1 = 0

Решаем каждое уравнение по отдельности:

1) y^2 - 9 = 0 ----- уравнение (3)

Получаем два возможных значения y:

y1 = 3

y2 = -3

2) 4y^2 - 1 = 0 ----- уравнение (4)

Получаем два возможных значения y:

y3 = 1/2

y4 = -1/2

Теперь подставляем найденные значения y в уравнение x = -3/(2y), чтобы получить значения x:

При y1 = 3, получаем x1 = -1

При y2 = -3, получаем x2 = 1

При y3 = 1/2, получаем x3 = -3

При y4 = -1/2, получаем x4 = 3

Итак, решение системы уравнений:

(x, y) = {(-1, 3), (1, -3), (-3, 1/2), (3, -1/2)}

Совет: При решении систем уравнений всегда полезно использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания. Также важно внимательно и аккуратно выполнять алгебраические операции при упрощении уравнений.

Закрепляющее упражнение: Найдите решение следующей системы уравнений:
{ 3x + 2y = 10
{ x - y = 4